MATEMATIKA EKONOMI Pertemuan 9: Fungsi Non-Linier Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

Materi Hari Ini Fungsi kuadrat Fungsi kubik Fungsi eksponensial Lingkaran Elips Hiperbola Parabola Fungsi kubik Fungsi eksponensial Fungsi logaritmik

Fungsi Kuadrat Fungsi polinom derajat dua atau fungsi kuadrat adalah fungsi non-linier yang variabel bebasnya berpangkat dua. Bentuk umumnya adalah y = a + bx + cx2 Bentuk lebih umum persamaan kuadrat ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0

Gambar Potongan Kerucut Lingkaran Parabola Elips Hiperbola

Identifikasi Persamaan Kuadrat ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0 Jika p = 0 dan a = b ≠ 0  lingkaran Jika p2 – 4ab < 0  Elips Jika p2 – 4ab > 0  Hiperbola Jika p2 – 4ab = 0  Parabola ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 Jika a = b ≠ 0  lingkaran Jika a ≠ b, tanda sama  elips Jika a dan b berlawanan tanda  Hiperbola Jika a=0 atau b=0, tapi tidak keduanya  parabola

Lingkaran Lingkaran merupakan suatu bidang di mana tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap (jari-jari) terhadap suatu titik tertentu (titik pusat) Persamaan umum lingkaran ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 ; a=b (x – i)2 + (y – j)2 = r2 di mana: i = jarak pusat lingkaran dari sumbu x j = jarak pusat lingkaran dari sumbu y r = jari-jari lingkaran

Lingkaran y Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k) , maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x – i)2 + (y – j)2 = r2 x  (x – i), y  (y – j) Dapat ditulis x2 + y2 – 2ix – 2jy + (i2+j2+r2)=0 P(x,y) y r j M(i,j) P(x,y) y r x x x i i dan j bisa positif / negatif  persamaan lingkaran : ax2 + ay2 + cx + dy + e = 0  a = b

Lingkaran Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh Titik potong lingkaran terhadap sumbu kartesius dapat ditentukan dengan memisalkan x=0 (titik potong thdp sumbu y) dan y=0 (titik potong thdp sumbu x)

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-tik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik pusat selalu konstan. Sebuah elips memiliki dua sumbu simetri yang slaing tegak lurus yaitu sumbu minor dan mayor. ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 ; a ≠ b, tanda sama di mana: i,j menunjukkan koordinat pusat elips r1 dan r2 jari-jari elips

Elips Y Y r1 r1 (i,j) (i,j) r2 r2 X X (2) r1 < r2 (1) r1 > r2

Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua titik pusat selalu konstan. Sebuah hiperbola memiliki dua sumbu simetri tegaklurus dan sepasang asimtot

Hiperbola y y asimtot (i,j) (i,j) asimtot Sumbu lintang x x Sumbu lintang Persamaan asimtot:

Penyelesaian fungsi parabola: Bentuk umum : y = ax2 + bx + c Dalam menggambarkan grafik parabola : y = ax2 + bx + c, dapat di perhatikan hal-hal berikut : Parabola termuka ke arah Y positif (terbuka keatas) bila a positif Parabola terbuka ke arah Y negatif (terbuka ke bawah)bila a negatif Intersep = c Penyelesaian fungsi parabola:

Jika diskriminan (D) = b2 – 4ac > 0 maka terdapat 2 titik potong, yaitu : jadi titik potong dengan sumbu Y = 0 adalah dan Jika D = b2 – 4ac = 0, maka hanya terdapat satu titik potong. Yaitu : jadi titik potong dengan sumbu Y = 0 adalah : Jika D = b2 – 4ac < 0, maka tidak terdapat titik potong dengan sumbu X.

Sumbu parabola adalah Disubstitusikan pada persamaan y = ax2 + bx + c, maka Sehingga titik ekstrim parabola :

Latihan 1 Tentukan bentuk kurva persamaan berikut x2 -3y2-2x+2y+9=0 2x2 -3x-2y+9=0 x2 +3y2-2x+2y-9=0 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2- 14x - 12y-9=0 Tentukan pusat dan jari2 panjang/pendek elips 2x2 +4y2-20x-32y-10=0 Tentukan pusat dan asimtot hiperbola x2 -y2-4x+6y-4=0 Tentukan titik ekstrim dan titik potong parabola berikut y=39-3x2 dan y=(x+2)2

Fungsi Kubik Fungsi polinom derajat tiga atau fungsi kubik adalah fungsi non-linier yang variabel bebasnya berpangkat tiga. Bentuk umumnya adalah y = a + bx + cx2 + dx3 Setiap fungsi kubik paling tidak memiliki satu titik belok (inflexion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya

Fungsi Kubik Titik belok Titik belok Titik belok max max Titik belok min min

Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas Bentuk umum fungsi eksponensial adalah Di mana: kurva bersifat asimtotik di y=c Titik potong kurva pada sumbu x: Titik potong kurva pada sumbu y:

Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik adalah kebalikan fungsi eksponensial, di mana variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma Bentuk umumnya Titik potong kurva pada sumbu x: Titik potong kurva pada sumbu y:

Latihan 2 Tentukan titik potong dan asimtot y = -e-x+0.5 y = 4e-0.4055x - 6 Tentukan titik potong dan f(4) y =0.25 ln(1+x) + 0.75 y =-400 ln(1+x) - 50

TUGAS KELOMPOK Tentukan titik potong dan asimtot Tentukan bentuk kurva persamaan berikut x2 +3y2-x+y+7=0 x2 –y2-3x-2y+8=0 2x2 +2y2-4x+4y+12=0 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2- 8x - 8y-9=0 Tentukan pusat dan jari2 panjang/pendek elips 2x2 +4y2-20x+32y-10=0 Tentukan pusat dan asimtot hiperbola x2 -y2-4=0 Tentukan titik potong dan asimtot y = 2e-3x+5 Tentukan titik potong dan f(5) y =8 ln(1+x) + 15 Tentukan titik ekstrim dan titik potong parabola berikut y=5+2x-3x2 dan y=(x-3)2