VEKTOr Fisika I 4/30/2018

Sasaran Pembelajaran Mahasiswa mampu menentukan besar dan arah sebuah vektor. Mahasiswa mampu melakukan operasi jumlah, operasi titik, operasi silang dua buah vektor. Fisika I 4/30/2018

BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Contoh : perpindahan. a b R Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Notasi Vektor: dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Besar vektor: dinyatakan oleh hurup capital (misal A) Arah vektor: dinyatakan dgn vektor satuan; i(arah sb x), j(arah sb. y), dan k(arah sb. z) Fisika I 4/30/2018

PENJUMLAHAN VEKTOR Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama (vector R) dengan pangkal vektor kedua (vektor S). Vektor resultan (vektor T) diperoleh dengan menghubungkan pangkal vektor pertama (vector R) dan ujung vektor kedua (vektor S). b c a R S T T = R + S Penjumlahan vektor R dan vector S menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Fisika I 4/30/2018

BESAR VEKTOR RESULTAN Besar vektor T dapat dihitung dengan: (1.1) T = R + S θ Dimana, R = besar vektor R, S = besar vektor S, θ = sudut antara vektor R dan S T = besar vektor T Fisika I 4/30/2018

PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor (misal A – B) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. A -B D D = A – B A B -B Fisika I 4/30/2018

CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! 40 km S 10 km 20 km U B Fisika I 4/30/2018

CONTOH 40 km Jawab : B 10 km C A 20 km D = A + B + C 10 km 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : Fisika I 4/30/2018

VEKTOR SATUAN Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1.2) Fisika I 4/30/2018

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Ry Rz Rx Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah : Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. Fisika I 4/30/2018

CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vektor y Jawab : (-2,5) ujung Ry  (2,2) pangkal x Rx a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j Fisika I 4/30/2018

CONTOH b. Sudut yang dibentuk : c. Besar vektor R = satuan y (-2,5) Ry (2,2) (-2,5) x y pangkal ujung  Rx Ry b. Sudut yang dibentuk : c. Besar vektor R = satuan Fisika I 4/30/2018

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j (1.3) xA + xB A + B A B yA + yB xA xB yA yB A B Fisika I 4/30/2018

CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i  4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A  B dan A  B A B A + B -B A  B Jawab : a. A + B = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j A + B = b. A  B = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j A  B = Fisika I 4/30/2018

SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C Fisika I 4/30/2018

PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A . B = AB cos  (1.4) A B  Dari persamaan 1.4, dapat disimpulkan bahwa: i . j = j . k = k . i = 0 i . i = j . j = k . k = 1 Fisika I 4/30/2018

PERKALIAN SKALAR Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz (1.5) Contoh hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. Fisika I 4/30/2018

CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i  2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A B  AB A . B = (3i + 4j) . (4i  2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vektor A = Besar vektor B = Dengan demikian  = 79,7o Fisika I 4/30/2018

PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A  B = C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin  (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. A  B tidak sama dengan B  A (besar vektor hasil perkalian silang sama, tetapi arahnya saling berlawanan). C = A  B B  B C = -C’ A  Fisika I 4/30/2018 A C’ = B  A

PERKALIAN VEKTOR Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j Fisika I 4/30/2018

PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A  B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan gambar di bawah ini : Fisika I 4/30/2018

CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i  2j + k Tentukan : a. A  B b. Buktikan A  B = -B  A Jawab : a. A  B = (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k b. B  A = (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A  B terbukti Fisika I 4/30/2018

SOAL Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k Tentukan : a. A . (B  C) b. A . (B + C) c. A  (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! Fisika I 4/30/2018