MATEMATIKA BISNIS & EKONOMI 5 May 2018 MATEMATIKA BISNIS & EKONOMI By : Hanung N. Prasetyo

HIMPUNAN Cara menyatakan suatu himpunan. 5 May 2018 HIMPUNAN I.     Definisi himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda. Untuk menyatakan, digunakan huruf KAPITAL seperti A, B, C, dsb. Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil, seperti a,b,c, dsb. Cara menyatakan suatu himpunan. >> Dengan mendaftarkan semua anggotanya >> Dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota.

5 May 2018 Contoh2 himpunan A = {1, 3, 5, 7, 9, …} B = {‘hafidz’, 20, ‘matematika’,2004} C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} D = {x : x<15, x bilangan Prima} E = {x: x2 + 2x + 5 = 0, xR}

5 May 2018 Himpunan Simbol  digunakan untuk keanggotaan suatu elemen, dan untuk menyatakan bukan anggota digunakan . Jika C = {a, b, {a}, {b, c}, c, d, {e, 9}} Maka: a  C, b C, e C, f C, {a}  C, {e, 9}  C {c} C, {d} C, {b} C, {b, c} C Banyaknya anggota dari suatu himpunan disebut bilangan kardinal. dinyatakan dengan n(C) atau |C| Jadi n(C) = 7 atau |C| = 7

Istilah-istilah pada himpunan 5 May 2018 Istilah-istilah pada himpunan HIMPUNAN SEMESTA: himpunan yang mencakup semua anggota yang sedang dibicarakan. HIMPUNAN KOSONG : adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan simbol  atau { }. Himpunan {0} bukan himpunan kosong, melainkan suatu himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.

Istilah-istilah pada himpunan(2) 5 May 2018 Istilah-istilah pada himpunan(2) HIMPUAN YANG EKIVALEN Dua himpunan yang tidak kosong A dan B dikatakan ekivalen jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B, ditulis dengan n(A) = n(B) ata |A| = |B|. Dua himpunan yang sama pasti ekivalen. DIAGRAM VENN (John Venn pada tahun 1881) Himpunan digambarkan dengan sebuah oval (tidak harus), dan anggota-anggotanta digambarkan dengan sebuah noktah (titik) yang diberi label, sedangkan himpunan semesta digambarkan dengan segi empat.

Contoh Venn Diagram S Contoh-1 : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 5 May 2018 5 May 2018 Contoh Venn Diagram  Contoh-1 : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} A = {2,3,6,8,9,11} B = {1,3,4,5,7,8} Simbol  untuk keanggotaan  Jadi: 2  A, 4  B 4  A , 9 B   3  A, 3  B 3  A, 3  B S B A 1 9 2 4 3 5 6 8 11 7 10 12 modul kuliah logika matematika- T. Kustendi, M.T 2007

HIMPUNAN BAGIAN (SUB SET) 5 May 2018 HIMPUNAN BAGIAN HIMPUNAN BAGIAN (SUB SET) Himpunan B dikatakan himpunan bagian dari himpunan A jika setiap xB maka x  A , dinotasikan dengan B  A . B  A dibaca sebagai “B terkandung di dalam A”. Kita dapat juga menulis dengan A  B , yang berarti A mengandung B. Contoh-2 : Jika A = {a, b, c} maka himpunan-himpunan bagiannya adalah: { } Himpunan kosong {a}, {b}, {c} Himpunan yang terdiri atas satu anggota. {a,b}, {a,c}, {b,c} Himpunan yang terdiri atas dua anggota. {a,b,c} Himpunan yang terdiri atas tiga anggota.

Contoh Gambar Himpunan Bagian 5 May 2018 Contoh Gambar Himpunan Bagian M Simbol himpunan Bagian  A  M B  M C  M A C B

HIMPUNAN KUASA ( POWER SET) 5 May 2018 HIMPUNAN KUASA ( POWER SET) HIMPUNAN KUASA (Power set) Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan dengan P(A) atau 2A . Contoh : Jika A = {a, b, 5}, maka himpunan kuasa dari A adalah P(A) =

1. OPERASI -UNION Definisi : A U B = { x | x  A atau x B } 5 May 2018 1. OPERASI -UNION Definisi : A U B = { x | x  A atau x B }   Contoh-1 A = { 2, 3, 5, 7, 9} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14, L} E = {1, 2, 4 } Maka : A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A U D = {2, 3, 5, 7, 9, Anto, 14, L} B U C = ? B U D = ? C U D = ? B A

2. OPERASI -IRISAN Definisi : A B = { x | x  A dan x B } 5 May 2018 2. OPERASI -IRISAN Definisi : A B = { x | x  A dan x B } Contoh : Maka : A = { 2, 3, 5, 7, 9} A  B = {2, 5} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } E  B = { 1,2 4} C = { 10, 11, 14, 15} A  C = { } A  E = {2} D = { Anto, 14, L} D  C = {14} E = {1, 2, 4 } A  D = { } B A

3. OPERASI SELISIH - MINUS 5 May 2018 3. OPERASI SELISIH - MINUS Definisi : A – B = { x | x  A dan x  B } Contoh A = {2,3,4,6,7,9} B = {1,2,3,5,6,8,9,10} C = {3,5,9} Maka : A – B = {4,7} B – A = {1,5,8,10} A – C = { B – C = { C – B = { B A

4. OPERASI BEDA SETANGKUP 5 May 2018 4. OPERASI BEDA SETANGKUP Definisi: A  B = { x | (x  A atau x B) dan X (A B) } A  B = (A U B) – (A  B) A  B = (A - B) U (B - A) Contoh: A = {1,2,3,5,6,8,9,10} ; B = {2,7,8,11} ; C = {1,3,5,7,9,11} ; D = {0,1,2,5,6,7,9,12} Maka : A  B = {1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11} B  C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9} A  C = { A  D = { B A

5. OPERSAI - KOMPLEMEN Contoh : A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; 5 May 2018 5. OPERSAI - KOMPLEMEN Definisi : Ac = { x | x  A dan x S } Contoh : A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13} S = { x | x bilangan asli  14} Maka : Ac = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14} Bc = {3,5, 8,11,12,14} A Ac 2 6 13 7 5 4 3 9 8 11 10 14 12 1 S A B

Hukum Aljabar Himpunan 5 May 2018 Hukum Aljabar Himpunan 1. Hukum idempoten A U A = A A  A = A 2. Hukum Asosiatif A U (B U C) = (AUB) U C  A  (B  C) = (A B)  C 3.Hukum komutatif A U B = B U A A B = B  A 4. Hukum Distributif A U (B  C) = (AUB) (A U C) A  (B U C) = (A B) U (A  C) 5. Hukum Identitas A U  = A A U S = S A  U = A A   =  6. Hukum Involusi (Ac ) c = A 7.Hukum Komplpemen A U Ac = S A  Ac =  Sc =  c = S 8. Hukum De Morgan  ( A U B )c = Ac  Bc   ( A  B )c = Ac U Bc

Latihan soal: Operasi Himpunan 5 May 2018 Latihan soal: Operasi Himpunan 1. Jika A = {1,3,4,7,8,9,12} B = {1,2,3,5,7,8} C = {2,4,6,8,10} S = {x| x adalah bilangan asli < 14}  a. Gambarkan Diagram Venn dari himpunan-himpunan di atas.  TENTUKANLAH b. A  (B - C) h. A B      c. A  (A U B) i. (A  B) – (C  B)      d. B  (B  C) j. (B  C)c - A       e. (B - C)c  (A - B) k. B  ( Ac – C)  

Sistem Bilangan Dalam matematika bilangan terbagi 2: Nyata terdiri dari Irrasional & rasional Tidak Nyata/unreal Bilangan rasional sendiri terdiri atas : bilangan bulat & pecahan

SIFAT BILANGAN KOMUTATIF ASOSIATIF DISTRIBUTIF IDENTITAS INVERS 5 May 2018 SIFAT BILANGAN KOMUTATIF ASOSIATIF DISTRIBUTIF IDENTITAS INVERS

Operasi Bilangan Kaidah Komutatif Kaidah Asosiatif Kaidah Pembatalan Kaidah Distributif Unsur Penyama Kebalikan

Operasi tanda Pada Prinsipnya operasi dalam matematika hanya dua yaitu: Penjumlahan Contoh: 2 + 3 = 5 ; 2 + -3 menjadi 2 – 3 = -1 Perkalian Contoh: 2 X 3 = 6 ; 2 X 1/3 = 2/3

Pangkat, Akar & Logaritma Pangkat adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Bentuk umum a.a.a.a.a…. = an Contoh : 7 X 7 X 7 X 7 = 74

Pangkat, Akar & Logaritma Akar dari suatu bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangka akarnya Bentuk umum: xa = m  x =

Pangkat, akar & Logaritma Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan pokok Logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. xa = m  x =a x log m = a