1 Unit Program Linear Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Matematika untuk kelas XI Sekolah Menengah Atas Kelompok Waib

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang melibatkan pengoptimalan, seperti meminimumkan ongkos atau memaksimalkan laba. Bersama teman sebangkumu, carilah satu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan pengoptimalan. Kemudian, selesaikan dengan menggunakan program linear, dan presentasikan hasilnya di depan kelas. Diskusi

Bersyukurlah karena Tuhan begitu sempurna menciptakan otak manusia sehingga mampu memikirkan konsep-konsep untuk memecahkan masalah sehari-hari bahkan yang rumit sekalipun.

A. Algoritma Pembagian Polinomial Persamaan Linear Dua Variabel Bentuk Umum PLDV: 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝜖 𝑅, 𝑎≠0, 𝑏≠0, 𝑥 dan 𝑦 sebagai variabel.

Contoh Soal 1.1 Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Tentukan pasangan (x, y) yang memenuhi 2𝑥−3𝑦=12 dengan 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑅. Penyelesaian Pasangan (x, y) yang memenuhi PLDV 2x – 3y = 12 tak terhingga banyaknya. Untuk menentukan pasangan titik-titik ini cukup dengan menentukan nilai x. Kemudian, hitung nilai y dengan menyubstitusikan nilai x ke dalam PLDV. Ambil 𝑥=0⇒2 0 −3𝑦=12, 𝑦=−4, titiknya 0,−4 , Ambil 𝑥=3⇒2 3 −3𝑦=12, 𝑦=−2, titiknya (3,−2), Ambil 𝑥=6⇒2 6 −3𝑦=12,𝑦=0, titiknya 6,0 , dan seterusnya. Jadi, himpunan pasangan terurut yang memenuhi PLDV 2x – 3y = 12 adalah {(0, –4), (3, –2), (6, 0), ....}.

Jika himpunan terurut tersebut dilukis pada sistem koordinat Cartesius maka penyelesaian sebuah PLDV adalah titik-titik yang tak terhingga banyaknya yang terletak pada suatu garis lurus (lihat Gambar 1.1).

2. Menggambar Suatu Garis dengan Persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 Untuk menggambar suatu garis hanya diperlukan dua pasangan terurut (dua titik) yang memenuhi persamaan garis tersebut. Agar lebih mudah, biasanya titik pertama diambil titik potong terhadap sumbu-x (memiliki y = 0) dan titik kedua diambil titik potong terhadap sumbu-y (memiliki x = 0).

Contoh Soal 1.2 Menggambar Garis yang Memenuhi Suatu PLDV Gambarlah garis yang memenuhi x + y = 5. Penyelesaian: Ambil titik pertama pada sumbu-x, maka 𝑦=0, substitusi 𝑦=0 ke 𝑥+𝑦=5⇒𝑥+0=5,𝑥=5, titik pertama (5, 0) Ambil titik kedua pada sumbu-y maka 𝑥=0, substitusi 𝑥=0 ke 𝑥+𝑦=5⇒0+𝑦=5, 𝑦=5, titik kedua (0,5) Dengan menghubungkan titik (5, 0) dan titik (0, 5) diperoleh garis x + y = 5 seperti pada Gambar 1.2.

3. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel mirip seperti persamaan linear dua variabel, hanya saja sebagai pengganti tanda ''='' digunakan salah satu dari tanda ketidaksamaan, yaitu: ''>, ≥, <, atau ≤''. Bentuk Umum PtLDV ax + by < c atau ≤ c atau > c atau ≥ c dengan a, b, c, ∈ R dan a, b keduanya tidak nol, sedangkan x dan y sebagai variabel.

Contoh Soal 1.3 Menentukan Daerah yang Memenuhi PtLDV Tentukan daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 12. Penyelesaian Langkah 1. • Ganti tanda ketidaksamaan dengan tanda sama dengan, kemudian gambarlah titik-titik yang memenuhi 2x + 3y = 12. • Telah Anda ketahui bahwa kurva 2x + 3y = 12 akan berbentuk garis lurus. Untuk menggambarkan garis lurus diperlukan dua titik khusus, seperti cara dalam Contoh Soal 1.2. • Ambil 𝑥=0⇒2 0 0+3𝑦=12, 𝑦=4, sehingga titik pertama (0, 4). • Ambil 𝑦=0⇒2𝑥+3 0 =12, 𝑥=6, sehingga titik kedua (6, 0). • Titik pertama dan titik kedua membentuk garis lurus seperti ditunjukkan pada Gambar 1.3. Oleh karena PtLDV 2x + 3y ≤ 12 mengandung tanda sama dengan maka garis batas 2x + 3y =12 digambar sebagai garis utuh.

Langkah 2. • Garis batas 2x + 3y = 12 membagi gambar menjadi dua daerah, yaitu daerah I (daerah di atas garis 2x + 3y = 12) dan daerah II (daerah di bawah garis 2x + 3y = 12). • Ambilah satu titik sebarang yang tidak terletak pada garis sebagai titik uji. Jika titik uji memenuhi PtLDV (2x + 3y ≤ 12) maka daerah titik uji ini memenuhi PtLDV. Kemudian, daerah ini diwarnai.

Jika titik uji tidak memenuhi PtLDV (2x + 3y ≤ 12) maka daerah titik uji tidak memenuhi PtLDV. Hal ini berarti daerah yang memenuhi PtLDV adalah daerah di seberang titik uji, dan daerah inilah yang diwarnai. Untuk mempermudah perhitungan, titik asal (0, 0) diambil sebagai titik uji, asalkan titik (0, 0) tidak terletak pada garis batas. Dalam kasus pada Gambar 1.3, titik (0, 0) tidak terletak pada garis batas persamaan 2x + 3y = 12. Dengan demikian, titik (0, 0) dapat diambil sebagai titik uji dari PtLDV 2x + 3y ≤ 12. Titik uji (0, 0) 2(0) + 3(0) = 0 ≤ 12 (memenuhi). Oleh karena (0, 0) memenuhi 2x + 3y ≤ 12 maka daerah II yang mengandung titik uji (0, 0) adalah daerah yang memenuhi 2x + 3y ≤ 12. Oleh karena itu, daerah II diwarnai (Gambar 1.4).

Langkah-Langkah untuk Menggambar Daerah yang Memenuhi Suatu Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pilih satu titik uji sebarang. Lebih memudahkan perhitungan jika titik (0, 0) diambil sebagai titik uji dalam PtLDV. a. Jika koordinat titik uji memenuhi PtLDV maka daerah yang mengandung titik uji memenuhi PtLDV dan daerah ini diarsir atau diwarnai. b. Jika koordinat titik uji tidak memenuhi PtLDV maka daerah yang mengandung titik uji tidak memenuhi PtLDV. Ini berarti daerah yang memenuhi adalah daerah di seberang titik uji, dan daerah inilah yang diarsir atau diwarnai. 2 1 Ganti notasi ketidaksamaan dengan tanda sama dengan (''=''). Pada sumbu Cartesius gambarlah garis yang memenuhi persamaan linear dua variabel. Jika dalam PtLDV terdapat tanda ''≤ atau ≥'', gambarlah garis tersebut sebagai garis utuh. Akan tetapi, jika tanda dalam PtLDV adalah ''< atau >'', gambarlah garis tersebut dengan garis putus-putus. Garis ini sebagai garis batas yang akan membagi bidang koordinat x – y menjadi dua daerah.

4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti, yaitu isi cokelat dan isi keju. Pembuatan roti isi cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5 gram mentega, sedangkan untuk roti isi keju diperlukan 4 gram terigu dan 5 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram terigu dan 2.500 gram mentega. Informasi ini dapat disajikan, seperti pada Tabel 1.1. Dari Tabel 1.1 dibuat model matematikanya, yaitu Bentuk (*) dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (disingkat SPtLDV)

Contoh Soal 1.4 Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Tentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut. x + 5y ≥ 20 x + y ≥ 12 x + 3y ≥ 18 x ≥ 0 y ≥ 0

Penyelesaian 1 Lukis kelima garis batas dari sistem pertidaksamaan linear (SPtL), yaitu: x + 5y = 20; x + y = 12; x + 3y = 18; x = 0 (sumbu-y); dan y = 0 (sumbu-x), dengan cara seperti dalam Contoh Soal 1.2. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 1.5. 2 Tentukan daerah yang memenuhi setiap PtLDV dari SPtL dengan cara seperti dalam Contoh Soal 1.3. Arsir setiap daerah yang memenuhi dengan pola arsiran yang berbeda. Supaya arsiran Anda tidak rumit, daerah yang memenuhi x ≥ 0 dan y ≥ 0, yaitu daerah dalam kuadran pertama, tidak perlu diarsir. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 1.5. 3 Daerah yang memenuhi SPtL adalah daerah dalam kuadran pertama (memenuhi x > 0 dan y > 0) yang memiliki tiga pola arsiran berbeda. Daerah ini adalah daerah tidak tertutup yABCDx dalam Gambar 1.5.

Langkah-Langkah untuk Menentukan Daerah yang Memenuhi Sistem Pertidaksamaan Linear Langkah 1. Lukis setiap garis dari PLtDV yang diberikan dalam masalah SPtL. Langkah 2. Dengan menggunakan satu titik uji (biasanya titik (0, 0)), tentukan daerah yang memenuhi setiap PtLDV. Beri tanda daerah tersebut dengan arsiran. Langkah 3. Tentukan daerah yang memenuhi SPtL, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah-daerah yang memenuhi tiap PtLDV dalam Langkah 2.

5. Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear jika Gambar Himpunan Penyelesaian Diberikan a. Persamaan Garis jika Titik Potong Garis terhadap Sumbu-Sumbu Koordinat Diberikan Jika garis batas yang diberikan pada gambar himpunan penyelesaian SPtL memotong sumbu-sumbu koordinat di titik-titik (0, b) dan (a, 0) (perhatikan Gambar 1.6) maka persamaan garis batas ini memenuhi rumus:

Adapun jika garis batas yang diberikan pada Gambar 1 Adapun jika garis batas yang diberikan pada Gambar 1.6 himpunan penyelesaian SPtL melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) maka persamaan garis batas ini memenuhi rumus: Contoh Soal 1.5 Menentukan SPtL jika Gambar dari Himpunan Penyelesaiannya Diberikan Tuliskan suatu sistem pertidaksamaan linear yang memiliki daerah penyelesaian, seperti daerah yang diwarnai pada Gambar 1.7. Tentukan SPtL dari daerah tersebut.

Penyelesaian 1 Daerah yang diwarnai dalam Gambar 1.7 dibatasi oleh lima garis. 2 Menentukan kelima persamaan garis batas yang telah ditandai dengan nomor (1), (2), (3), (4), dan (5) pada Gambar 1.7. Garis (1) memotong sumbu-x di (4, 0) dan sumbu-y di (0,3) sehingga persamaannya memenuhi persamaan (1). 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 =1 dengan 𝑎=4 dan 𝑏=3 𝑥 4 + 𝑦 3 =1⇒3𝑥+4𝑦=12 ... Garis (1)

Garis (2) melalui titik (4, 0) dan (5, 2) sehingga memenuhi persamaan (2). 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 2−0 5−4 = 2 1 =2 𝑦− 𝑦 1 =𝑚(𝑥− 𝑥 1 ) dengan ( 𝑥 1 , 𝑦 1 )= 4,0 ⇔𝑦−0=2 𝑥−4 ⇔𝑦=2𝑥−8 atau 2𝑥−𝑦=8 ... Garis (2) Garis (3) adalah garis horizontal melalui (0, 6) sehingga persamaannya adalah y = 6 ... garis (3) Garis (4) adalah garis vertikal melalui (5, 0) sehingga persamaannya adalah x = 5 ... garis (4) Garis (5) adalah sumbu y x = 0 ... garis (5)

3 Tentukan tanda pertidaksamaan dari setiap garis batas (> ataukah <) dengan mengambil satu titik uji tanda dalam daerah penyelesaian (daerah yang diwarnai). Misalnya, ambil P(4,1), lihat Gambar 1.7, dan tentukan tanda pertidaksamaan setiap garis batas. Uji titik P(4,1) terhadap garis (1)⇒3𝑥+4𝑦 ... 12 ⟺3 4 +4(1)>12 ⟺12+4>12 Jadi, PtLDV adalah 3𝑥+4𝑦≥12 ... (1) Uji titik P(4,1) terhadap garis (2)⇒2𝑥−𝑦 ... 8 ⟺2 4 −1<8 ⟺8−1<8 Jadi, PtLDV adalah 2𝑥−𝑦≤8 ... (2)

Uji titik P(4,1) terhadap garis (4)⇒𝑥 ... 5 ⟺4<5 Jadi, PtLDV adalah 𝑥≤5 ... (4) Uji titik P(4,1) terhadap garis (5)⇒𝑥 ... 0 ⟺4>0 Jadi, PtLDV adalah 𝑥≥0 ... (5) Uji titik P(4,1) terhadap garis (3)⇒𝑦 ... 6 ⟺1<6 Jadi, PtLDV adalah 𝑦≤6 ... (3) 4 Tentukan SPtL yang ditanyakan. Dari Langkah 3 diperoleh sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah yang diwarnai dalam Gambar 1.7 adalah: 3x + 4y ≥ 12; 2x – y ≤ 8; y ≤ 6; x ≤ 5; x ≥ 0

Latihan Soal Tentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut 2𝑥+𝑦≤40;𝑥+2𝑦≤40;𝑥≥0;𝑦≥0. Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 𝑥+𝑦≥4;2𝑥−𝑦≤3;𝑥−2𝑦+4≥0. Tentukan pertidaksamaan garis dari Gambar disamping -> Kerjakan Uji Materi 1.1 halaman 10, buku Matematika untuk Kelas XI SMA Kelompok Wajib. Kegiatan

B. Program Linear Bangkit Karakter Model Matematika Pembentukan sistem pertidaksamaan linear kedalam persamaan linear dinamakan pemodelan matematika. Di dalam pemodelan matematika untuk masalah program linear terdapat dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan atau fungsi objektif (objective function) dan kendala atau batasan (constraint). Bangkit Karakter Dalam kegiatan sehari-hari dapat Anda aplikasikan pemecahan masalah dengan menggunakan model matematika. Berikan beberapa permasalahan lain secara kreatif yang dapat Anda buat model matematikanya.

Contoh Soal 1.6 Pemecahan Masalah dengan Menggunakan Model Matematika Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti, yaitu roti isi cokelat dan roti isi keju. Pembuatan satu buah roti isi cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5 gram mentega, sedangkan untuk satu buah roti isi keju memerlukan 4 gram terigu dan 5 gram mentega. Keuntungan roti isi cokelat Rp550,00 per buah dan roti isi keju Rp400,00 per buah. Bahan yang tersedia adalah 2.400 gram terigu dan 2.500 gram mentega. Buatlah model matematika untuk permasalahan tersebut, apabila banyaknya roti isi cokelat x buah dan isi roti keju y buah.

Penyelesaian 1 Barang yang diproduksi adalah dua jenis roti: roti isi cokelat dan roti isi keju. Mulailah dengan pemisalan. Misalkaan, roti isi cokelat yang diproduksi = x buah, roti isi keju yang diproduksi = y buah. Tidak mungkin membuat –2 roti sebab pernyataan seperti ini tidak bermakna. Dari sini diperoleh dua fungsi kendala yang tak mungkin negatif, yaitu x ≥ 0 dan y ≥ 0.

2 Roti terbuat dari terigu dan mentega sehingga fungsi kendala berikutnya pastilah berkaitan dengan persediaan terigu dan mentega. 1 roti cokelat memerlukan 6 gram terigu dan 5 gram mentega. x roti cokelat memerlukan 6x gram terigu dan 5x gram mentega. 1 roti keju memerlukan 4 gram terigu dan 5 gram mentega. y roti keju memerlukan 4y gram terigu dan 5y gram mentega. Jadi, terigu yang diperlukan adalah (6x + 4y) gram dan mentega yang diperlukan adalah (5x + 5y) gram. Persediaan terigu = 2.400 gram sehingga PtLDVnya adalah 6x + 4y ≤ 2.400. Persediaan mentega = 2.500 gram sehingga PtLDVnya adalah 5x + 5y ≤ 2.500.

3 Fungsi kendala yang diperoleh dari Langkah 1 dan Langkah 2 menghasilkan model matematika sebagai berikut. 6x + 4y ≤ 2.400 ... (1) 5x + 5y ≤ 2.500 ... (2) x ≥ 0 ... (3) y ≥ 0 ... (4)

4 Adapun fungsi tujuan berkaitan dengan keuntungan menjual roti isi cokelat dan roti isi keju. 1 roti isi cokelat memperoleh untung Rp550,00. x roti isi cokelat memperoleh untung 550x rupiah. 1 roti isi keju memperoleh untung Rp400,00. y roti isi keju memperoleh untung 400y rupiah. Jadi, fungsi tujuan adalah = 550x + 400y. Fungsi tujuan inilah yang biasanya dimaksimumkan atau diminimumkan. Secara ringkas, model matematika program linear dalam masalah pembuatan roti ini dinyatakan dalam Tabel 1.2 berikut.

2. Menyelesaikan Masalah Program Linear Suatu program linear dalam dua variabel x dan y memiliki satu fungsi tujuan yang dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi tujuan biasa diberi notasi z. 𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦 dengan 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 dan keduanya tidak nol.

Secara umum, setiap masalah program linear memiliki dua komponen, sebagai berikut. Sekumpulan pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi secara bersama. Satu fungsi tujuan yang harus dioptimalkan (minimum atau maksimum).

Metode Garis Selidik untuk Menentukan Titik Optimum Untuk masalah memaksimumkan: fungsi tujuan, geser garis selidik primitif ax + by = 0 secara sejajar sampai memotong titik paling jauh dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear. Titik paling jauh biasanya adalah titik pojok yang paling atas atau paling kanan dari daerah yang memenuhi SPtL. Untuk masalah meminimumkan: fungsi tujuan, geser garis selidik primitif ax + by = 0 secara sejajar sampai memotong titik paling dekat dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear. Titik paling dekat biasanya adalah titik pojok paling bawah atau paling kiri dari daerah yang memenuhi SPtL.

Gambar garis selidik

Metode Titik Pojok Jika suatu masalah program linear memiliki penyelesaian maka daerah penyelesaiannya akan berada pada titik-titik pojok dari titik-titik yang mungkin. Titik-titik yang mungkin adalah titiktitik yang berada dalam daerah yang memenuhi SPtL (daerah ini, dalam gambar biasanya diberi warna). Jika suatu masalah program linear memiliki banyak penyelesaian maka paling sedikit suatu penyelesaian akan berada di suatu titik pojok dari grafik titik-titik yang mungkin. Dalam setiap kasus tersebut (kasus (1) dan kasus (2)), nilai fungsi tujuan selalu hanya ada satu.

Langkah-Langkah untuk Memecahkan Masalah Program Linear dengan Metode Grafik Menentukan fungsi tujuan dan menyatakannya ke dalam model matematika berupa satu persamaan dengan bentuk umum: z = ax + by, dengan a, b R serta a ≠ 0 dan b ≠ 0. Mengidentifikasi kendala atau batasan serta menyatakannya ke dalam model matematika berupa sekumpulan pertidaksamaan linear dua variabel. Menggambar semua garis pada fungsi kendala dalam satu koordinat Cartesius. Menentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam Langkah 2. Daerah ini biasanya diwarnai (atau diarsir). Menentukan koordinat (x, y) dari semua titik pojok dari daerah yang diwarnai dalam Langkah 4. Menyubstitusi x dan y dari setiap titik pojok dalam Langkah 5 ke dalam fungsi tujuan z = ax + by untuk menentukan nilai z optimum (maksimum atau minimum).

Contoh soal dengan Metode Grafik nilai minimum dari 𝑧=3𝑥+5𝑦 yang memenuhi syarat 2𝑥+𝑦≥30, 15≤𝑥+𝑦≤20, 𝑥≥0, 𝑦≥0 adalah 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑧=3𝑥+5𝑦 Titik pojoknya adalah sebagai berikut. 0,20 , 𝑧=100 0,15 , 𝑧=75 15,0 , 𝑧=45 10,10 , 𝑧=80 Jadi, nilai minimumnya adalah 45

Latihan Soal Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. harga tiket kelas utama Rp.150.000 dan kelas ekonomi Rp.100.000. supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah … Nilai maksimum dari fungsi objektif 𝑓 𝑥,𝑦 =20𝑥+30𝑦 dengan syarat 𝑥+𝑦≤40;𝑥+3𝑦≤90;𝑥≥0;𝑦≥0 adalah… Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan 𝑥≥1,𝑦≥2.𝑥+𝑦≤6,2𝑥+3𝑦≤15, nilai minimum dari 3x+4y sama dengan Kerjakan Uji Materi 1.2 halaman 21-22, buku Matematika untuk Kelas XI SMA Kelompok Wajib. Kegiatan

Kesimpulan Kemukakanlah pertanyaan atau pendapat Anda tentang materi pembelajaran unit ini.

Kuis Seorang penjaga buah-buahan yang menggunakan gerobak, menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp.1000,- tiap kg dan pisang Rp.400,- tiap kg. modalnya hanya Rp.250.000,- dan muatan gerobak tidak dapat melebihi 400 kg. jika keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus membeli … Luas daerah parkir 176 𝑚 2 , luas rata-rata untuk mobil sedan 4 𝑚 2 dan bus 20 𝑚 2 . Daya muat maksimum hanya 20 kendaraan, biaya parkir untuk mobil Rp 100/jam dan untuk bus Rp200/jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu … Kerjakan Uji Kompetensi Unit 1 halaman 23-24, buku Matematika untuk Kelas XI SMA Kelompok Wajib. Kegiatan

“tindakan adalah lebih meyakinkan daripada perkataan” Terima Kasih “tindakan adalah lebih meyakinkan daripada perkataan” John Woolman

referensi www.jpnn.com rackcdn.com www.renders-graphiques.fr deviantart.net www.tipsdancaramasaka.blogspot.com www.xiibi.com www.pptbackground.net www.antaranews.com

Created by Suci Rahayu