Representasi sistem, model, dan transformasi Laplace Pertemuan 2 Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar Tahun : 2010 Representasi sistem, model, dan transformasi Laplace Pertemuan 2

Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan : Mahasiswa dapat merumuskan kegunaan Model matematika sistem pengaturan untuk sistem elektrik, mekanik, proses dan hubungan input output dari suatu sistem.

Outline Materi Sistem linear dan non linear Persamaan diferensial Arti fisis persamaan diferensial Persamaan Diferensial untuk Sistem Orde 1, 2 & 3 Diagram blok Aljabar diagram blok Metode aljabar Transformasi Laplace Sifat2 transformasi Laplace

Sistem linear dan non linear Sistem fisis umumnya bersifat non linier dalam tingkat tertentu Untuk daerah kerja yg kecil sistem non-linier dpt dianggap linier Pada sistem linier berlaku hukum superposisi dimana response sistem terhadap beberapa input yang berbeda merupakan kombinasi jumlah dari masing-masing inputnya. Untuk menguji linieritas sustu sistem dengan sinusoidal test input Sistem linear dan non linear Sistem fisis umumnya bersifat non linier dalam tingkat tertentu Untuk daerah kerja yg kecil sistem non-linier dpt dianggap linier Pada sistem linier berlaku hukum superposisi dimana response sistem terhadap beberapa input yang berbeda merupakan kombinasi jumlah dari masing-masing inputnya. Untuk menguji linieritas sustu sistem dengan sinusoidal test input Persamaan diferensial PD time invaryant PD time varyant

Arti fisis persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah setiap persamaan aljabar atau transcendental equality yang melibatkan diferensial atau turunannya Persamaan diferensial berguna untu menghubungkan laju perubahan variabel dan parameter lainnya. Contoh hukum Newton  Hukum Hook  Persamaan Diferensial untuk Sistem Orde 1, 2 & 3

Model matematis dari sistem fisik: Rangkaian RLC Sistem mekanik massa , pegas dan damper Model sistem termometer Model aktuator hidraulik Model liquid level system Model motor servo dsb

Diagram blok Aljabar diagram blok Metode aljabar Representasi grafis dari sistem fisik Menggambarkan hubungan funsional antar komponen pada sistem Aljabar diagram blok Diagram blok sistem secara praktis sering sangat rumit, melibatkan banyak feedback maupun feedforward loop dan multi input Perlu reduksi terhadap diagram blok yg rumit tersebut Cara aljabar dapat berupa aljabar grafis maupun persamaan aljabar Cara aljabar grafis sering disebut aljabar diagram blok Metode aljabar Metode aljabar adalah upanya untuk penyederhanaan diagram blok yg rumit dengan bantuan persamaan yg diturunkan dari diagram blok

Transformasi Laplace ·    Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai : L [ f(t) ] = F(s) =   f(t) : fungsi waktu t dimana f(t) = 0 untuk t < 0. s : variabel kompleks. L : simbol operator transformasi Laplace F(s): transformasi Laplace dari f(t).

Transformasi Laplace Transformasi Laplace ·    Transformasi Laplace adalah suatu metoda operasi yang dapat digunakan dengan mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. ·    Operasi seperti diferensial dan integral dapat digantikan dengan operasi aljabar dalam bidang kompleks.   Kemudahan dengan transformasi Laplace ·    Dapat memprediksi harga akhir maupun harga awal sistem. ·   Komponen transient dan steady state dapat diperoleh sekaligus.

Tabel Transformasi Laplace Fungsi Waktu f(t) Transformasi Laplace F(s) Unit Impulse (t) 1 Unit step u(t) 1/s Unit Ramp t 1/s2 Polynomial tn n!/sn+1 Exponential e-at Differential sF(s)-f(0) Integral Sine Wave sin .t Cosine Wave cos .t Damped Sine Wave e-at. sin .t Damped Cosine Wave

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE  Transformasi Linier ·  Penjumlahan ·  Perkalian konstanta  Turunan (Derivative) ·  Syarat awal diperlukan   Integrasi Riil Syarat awal diperlukan Teorema Harga Awal ·  Mencari nilai awal sistem sebelum mendapat input   Teorema Harga Akhir ·  Memprediksi nilai akhir respons sistem ·  Menghitung output steady state input step

· Diperlukan untuk menormalkan terhadap fungsi waktu Skala Waktu · Diperlukan untuk menormalkan terhadap fungsi waktu · Dapat diterapkan ke fungsi yang mirip tapi berbeda waktunya    Translasi Waktu   Translasi Bidang S  Translasi Kompleks ·  Pergeseran ke bidang kompleks ·  Bidang S  sumbu riil, sumbu imajiner   Perkalian 2 Fungsi Waktu (Konvolusi) 

Contoh : Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi step berikut ini. f(t) = 0 for t < 0 f(t) = A for t > 0 dengan A adalah konstanta.   F(s) = L[ f(t) ] = F(s) =  = Fungsi step untuk A = 1 dinamakan fungsi unit step dan transformasi Laplace dari fungsi unit step ini adalah : f(t) t 1

  Contoh :   U(t) = 3 t  0 = 0 t < 0

Contoh Pemakaian Skala Frekuensi

DIAGRAM BLOK Diagram blok dari suatu sistem merupakan penggambaran grafis dari fungsi-fungsi yang dilakukan oleh setiap komponen. Keterkaitan yang ada di antara berbagai komponen dinyatakan dengan arah aliran sinyal. Sistem pengaturan yg terdiri dari beberapa komponen. Untuk menunjukkan fungsi-fungsi yang dilakukan oleh setiap komponen digunakan diagram blok.

Diagram Blok Fungsi Alih C(s) = G(s) E(s) …..…( 1 ) E(s) = R(s) – B(s ) E(s) = R(s) – C(s) H(s) ……..( 2 ) Eliminasi E(s) dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ). C(s) = G(s) R(s) – G(s) C(s) H(s) ( 1 + G(s).H(s) ) C(s) = G(s) R(s)

Forward Transfer Function Fungsi alih arah maju Perbandingan antara sinyal output dengan sinyal error Feedback Transfer Function Fungsi alih arah umpan balik Perbandingan antara sinyal feed back dengan sinyal output.

Open Loop Transfer Function Fungsi alih lup terbuka Perbandingan antara sinyal umpan balik dengan sinyal error Positive Feedback Sinyal feedback mempunyai tanda yang sama dengan sinyal output. Negative Feedback Sinyal feedback mempunyai tanda berlawanan dengan sinyal input. Persamaan Karakteristik Bagian penyebut fungsi alih 1 + G(s) H (s) = 0

Reduksi Diagram Blok Penyederhanaan sistem Prediksi overall performance Model Matematis Memudahkan analisis Memudahkan modifikasi Sistem tidak unique Tidak memuat informasi rangkaian atau konstruksi

Reduksi diagram blok / Aturan penyederhanaan blok/ 1.   2. 3. 4.

Aturan penyederhanaan blok 5. 6. 7.

Reduksi diagram Blok Contoh

Reduksi Blok diagram

penutup Sistem pengaturan dapat berupa sistem linier ataupun non-linier Model matematis perlu untuk analisis sistem pengaturan Pernyataan sistem dalam diagram blok membantu menjelaskan hubungan fungsional antar komponen. Reduksi diagram blok perlu dilakukan untuk memudahkan analisis maupun sintesis serta modifikasi sistem jika diperlukan.