Penggunaan matrik dalam ekonomi dan bisnis Pertemuan 12 Penggunaan matrik dalam ekonomi dan bisnis
Persamaan Linier a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = C1 … + … + …… + …. = … am1x1 + am2x2 + ….. + amnxn = Cm
Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi: Am x n . Xn x 1 = Cm x 1 Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan 2 cara: Matrik Invers Kaidah Cramer
Menggunakan matrik invers Bila Matrik A adalah non singular maka penyelesaiannya adalah: Xn x 1 = A- 1n x n . Cn x 1
Menggunakan kaidah Cramer C11 a12 ... a1n .. .. .. Cn1 an2 ... ann | A | X1 =
Dan seterusnya sampai Xn , dimana kolom ke – n pada matrik pembilangnya diganti dengan koefisien-koefisien C11 , C21, …, Cn1
Analisis Input - Output Langkah awal dari analisis input-output adalah menyusun data ke dalam bentuk matrik transaksi:
dist.konsumsi Permintaan keluaran akhir produksi Nilai tambah Keluaran total X11, ... , X1m X21, ... , X2m ... ... ... ... Xm1, ... , Xmm Y1,... , Ym X1, ... , Xm U1 U2 …. Um X1 X2 Xm Um+1 Xm+1 X
Pemakaian total oleh sektor i
Keluaran total dari sektor j
Jika nilai setiap unsur dalam matrik transaksi dibagi dengan nilai jumlah kolom yang bersesuaian maka diperoleh suatu rasio yang disebut koefisien teknologi:
Matrik Teknologi Nilai tambah Sektor Sektor 1 2 .……… m 1 a11 a12 ………. a1m 2 a21 a22 ..……… a2m . ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... m am1 am2 ... ... amm Nilai tambah
Sedangkan himpunan koefisien teknologi untuk unsur-unsur permintaan akhir dan keluaran total masing-masing adalah berupa vektor kolom:
Karena koefisien masukan aij = Xij / Xj Berarti Xij = aij Xj Menurut matrik transaksi Maka
Bila diuraikan , Atau
Untuk masing-masing i:
Dengan notasi matrik: Umx1 dan Xmx1 masing-masing adalah vektor-vektor kolom permintaan akhir dan keluaran total, I adalah matrik identitas, sedangkan A adalah matrik teknologi.
Jika matrik (I – A) non singular, yakni bila determinan (I-A) 0, maka (I – A) akan mempunyai invers , sehingga dari diperoleh