METODE SIMPLEKS Pertemuan 2 Mata kuliah : S0872 – Riset Operasi Tahun : 2010 METODE SIMPLEKS Pertemuan 2

MATERI Bentuk Standard PL Ruang Solusi Bentuk Standard Perhitungan Algoritma Simpleks Penerapan Dalam Teknik Sipil Bina Nusantara University

BENTUK STANDARD PL Bentuk standard Pemrograman Linier (PL): Semua constraint berbentuk persamaan dengan ruas kanan non-negative Semua variabel non-negative Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi maupun minimasi Contoh: Pada constraint X + 2 Y ≤ 6 Dapat ditambahkan slack s1 untuk mendapatkan persamaan X + 2 Y + s1 = 6 ; s1≥ 0 3 X + 2 Y – 3 Z ≥ 5 Dapat ditambahkan surplus s2 untuk mendapatkan persamaan 3 X + 2 Y – 3 Z – s2 = 5 ; s2≥ 0 Bina Nusantara University

RUANG SOLUSI BENTUK STANDARD Dalam solusi grafis terdahulu teramati bahwa solusi optimum selalu merupakan titik sudut atau titik ekstrem ruang solusi Ide metoda simpleks dibangun berdasar keadaan diatas dengan melakukan proses iterasi dimulai dari titik sudut yang layak, biasanya dari titik asal A, dan secara sistematis berpindah ke titik lain hingga diperoleh titik optimum C Untuk menunjukkan ide diatas dalam kaitan dengan metoda simpleks, maka ruang solusi dan titik sudut dinyatakan dalam bentuk aljabar sebagai berikut: Definisi Geometrik (Metoda Grafis) Definisi Aljabar (Metoda Simpleks) Ruang solusi Constraint dari bentuk standard Titik sudut Solusi dasar dari bentuk standard Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS Metoda simpleks digunakan bila persoalan memiliki 2 atau lebih dimensi sehingga tidak bisa diselesaikan secara grafis. Penyelesaian menggunakan bentuk tabel-tabel, sehingga disebut metoda simpleks. Algoritma simpleks dilakukan dengan langkah dasar berikut: Langkah 0: Dari bentuk standard, tentukan awal solusi kelayakan dasar dengan menyusun n – m variabel nonbasic yang sesuai untuk tingkat nol. Langkah 1: Pilih titik masuk diantara variabel tersebut. Bila meningkat diatas nol berarti dapat memperbaiki nilai tujuan fungsi. Bila tidak ada, maka nilai yang tersedia merupakan solusi dasar optimal. Bila tidak, lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Pilih variable keluar diantara variabel dasar yang nilainya harus nol (menjadi nonbasic) ketika variabel masuk menjadi basic. Langkah 3: Tentukan solusi dasar yang baru dengan membuat variabel masuk menjadi basic dan variabel keluar menjadi non basic. Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS Metoda simpleks digunakan bila persoalan memiliki 2 atau lebih dimensi sehingga tidak bisa diselesaikan secara grafis. Penyelesaian menggunakan bentuk tabel-tabel, sehingga disebut metoda simpleks. Algoritma simpleks dilakukan dengan langkah dasar berikut: Langkah 0: Dari bentuk standard, tentukan awal solusi kelayakan dasar dengan menyusun n – m variabel nonbasic yang sesuai untuk tingkat nol. Langkah 1: Pilih titik masuk diantara variabel tersebut. Bila meningkat diatas nol berarti dapat memperbaiki nilai tujuan fungsi. Bila tidak ada, maka nilai yang tersedia merupakan solusi dasar optimal. Bila tidak, lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2: Pilih variable keluar diantara variabel dasar yang nilainya harus nol (menjadi nonbasic) ketika variabel masuk menjadi basic. Langkah 3: Tentukan solusi dasar yang baru dengan membuat variabel masuk menjadi basic dan variabel keluar menjadi non basic. Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS Langkah praktis Algoritma simpleks: Modelisasi masalah Merubah fungsi tujuan dan fungsi batasan Menyusun persamaan dalam tabel Memilih kolom kunci Memilih baris kunci Mengubah nilai-nilai baris kunci Mengubah nilai-nilai baris yang lain Mengulang langkah diatas sampai tidak ada nilai negatif pada baris fungsi tujuan (untuk masalah maksimasi) Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS Dari pembahasan bentuk standard sebelumnya, yaitu: Modelisasi Fungsi: Z = 3 X + 2 Y Tujuan: Maksimasi Z Constraint: 1) A  X + 2 Y ≤ 6 2) B  2 X + Y ≤8 3) Y – X ≤ 1 Y ≤ 2 Y ≥ 0, X ≥ 0 Langkah 0: Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS Persamaan s4 2 1 s4 Persamaan s3 s3 Persamaan s2 8 s2 Persamaan s1 6 s1 Persamaan Z - 2 - 3 Z Solusi Y X Basic Langkah 0: Info diatas disusun dalam tabel berikut - 2 1 s4 s3 8/2=4 8 s2 6/1=6 6 s1 - 2 - 3 Z Rasio Solusi Y X Basic Poros persamaan Kolom masuk Langkah 1: Pilih titik masuk, dalam contoh kolom hijau Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS 8/2=4 8 1/2 1 s2 s1 Z Rasio Solusi Y X Basic Langkah 2 2/1=2 2 1 s4 5/3/2=10/3 5 1/2 3/2 s3 4/1/2=8 4 Y 2/3/2=4/3 -1/2 s1 12 Z Rasio Solusi s2 X Basic Bina Nusantara University

PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS 2/3 1 1/3 -2/3 s4 3 - 1 s3 10/3 -1/3 Y 4/3 X 12 2/3 Z Solusi s2 s1 Basic Langkah 3 Bina Nusantara University

PENERAPAN DALAM TEKNIK SIPIL Analisis ketersediaan sumber daya Analisis optimasi Dsb. Bina Nusantara University

SOAL LATIHAN Selesaikan fungsi tujuan berikut ini dengan metoda simpleks: Minimasi Z = 5 X1 – 4 X2 + 6 X3 + + 8 X4 Dengan fungsi batasan X1 + 7 X2 + 3 X3 + 7 X4 ≤ 46 3 X1 - X2 + X3 + 2 X4 ≤ 8 2 X1 + 3 X2 - X3 + X4 ≤ 10 Bina Nusantara University