SISTEM PERSAMAAN LINEAR Matematika Kelas X

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH Bentuk Umum : ax + by = c px + qy = r dengan a, b, c, p, q dan r anggota bil. Real, serta a, b, p, q ≠ 0

Himpunan Penyelesaian SPLDP Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDP a. Metode Grafik Grafik sebuah persamaan linear ax + by = c merupakan sebuah garis lurus. Dengan demikian merupakan dua garis lurus ax + by = c px + qy = r

Titik persekutuan dari kedua garis tersebut merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Berdasarkan kedudukan kedua garis tersebut, maka ada tiga kemungkinan penyelesaian yang dapat ditentukan

Jika kedua garis itu berpotongan di satu titik, maka himpunan penyelesaian tepat mempunyai satu anggota. Jika kedua garis itu sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak mempunyai anggota atau Ø

Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaian tepat mempunyai tak hingga banyak anggota.

Contoh 1 : Dengan menggunakan metode grafik, tentukanlah himpunan penyelesaian dari : 2x + y = 4 x + y = 3

Penyelesaian : 2x + y = 4 x + y = 3 x 2 y 4 (x,y) (0,4) (2,0) x 3 y 2 y 4 (x,y) (0,4) (2,0) x + y = 3 x 3 y (x,y) (0,3) (3,0)

y Grafik berpot di (1,2) HPnya {(1,2)} (0,4) (0,3) (3,0) X (0,0) (2,0)

b. Metode Substitusi Contoh 2 : Dengan menggunakan metode substitusi tentukanlah himpunan penyelesaian dari : 3x + 5y = 11 4x - y = 7

Penyelesaian : 4x – y = 7 ↔ y = 4x – 7 y = 4x – 7 disubstitusikan ke persamaan 3x + 5y = 11, diperoleh : 3x + 5 (4x – 7 ) = 11 ↔ 3x + 20x – 35 = 11 ↔ 23x = 46 ↔ x = 2, y = 4x – 7 y = 8 – 7 = 1 HP {(2, 1)}

c. Metode Eliminasi Contoh 3 : Dengan menggunakan metode eliminasi tentukanlah himpunan penyelesaian dari : 8x - 9y = 4 20x + 9y = 136

Penyelesaian : Eliminir peubah y, sehingga : 8x - 9y = 4

Eliminir peubah x, sehingga : 8x - 9y = 4 x5 40x – 45y = 20 20x + 9y = 136 x2 40x + 18y = 272 - -63y = -252 y = 4 HP {(5, 4)}

d. Metode Eliminasi-Substitusi Contoh 4 : Dengan menggunakan metode kombinasi eliminasi-substitusi tentukanlah himpunan penyelesaian dari : 3x + 5y = 21 2x - 3y = - 5

Penyelesaian : Eliminir peubah x, sehingga : 3x + 5y = 21 x3 9x + 15y = 63 2x - 3y = -5 x5 10x - 15y = -25 + 19x = 38 x = 2 Nilai x = 2 → 3x + 5y = 21, diperoleh 3 (2) + 5y = 21 → y = 3 HP {(2, 3)}

B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN TIGA PEUBAH Bentuk Umum : ax + by + cz = d kx + ly + mz = n px + qy + rz = s dengan a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r dan s anggota bil. Real

Himpunan Penyelesaian SPLTP Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLTP a. Metode Substitusi Contoh 1 : Dengan menggunakan metode substitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari : 2x + 3y - z = 15 .....(1 3x + 2y + z = 20 .....(2 x + y - 3z = 1 ......(3

Penyelesaian : 2x + 3y - z = 15 ↔ z = 2x + 3y – 15 substitusikan ke pers 2) dan 3) menjadi : 2) 3x + 2y + (2x + 3y – 15) = 20 ↔ 5x + 5y = 35 ↔ x + y = 7….(4) 3) x + y – 3(2x + 3y – 15) = 1 ↔ - 5x – 8y = - 44 ↔ 5x + 8y = 44 ….(5)

Dari 4) diperoleh : x + y = 7 ↔ y = 7 – x Substitusikan ke 5) diperoleh : 5x + 8y = 44 ↔ 5x + 8 (7 – x ) = 44 ↔ 5x + 56 – 8x = 44 ↔ 5x – 8x = 44 – 56 ↔ - 3x = - 12 ↔ x = 4 substitusikan ke y = 7 – x

diperoleh : y = 7 – 4 = 3 x = 4 dan y = 3 disubstitusikan ke pers z = 2x + 3y - 15 , diperoleh : z = 2(4) + 3(3) – 15 = 17 – 15 = 2 Jadi himpunan penyelesaiannya {(4, 3, 2)}

b. Metode Eliminasi-Substitusi Contoh 2 : Dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari : 5x - 3y + 2z = 28 .....(1 7x + 4y - z = 24 .....(2 3x + 5y + 4z = 28 ......(3

Penyelesaian : Dari pers 1) dan 2) diperoleh : 5x - 3y + 2z = 28 x1 5x – 3y + 2z = 28 7x + 4y - z = 24 x2 14x + 8y – 2z = 48 + 19x + 5y = 76 …(4) Dari pers 1) dan 3) diperoleh : 5x - 3y + 2z = 28 x2 10x – 6y + 4z = 56 3x + 5y + 4z = 28 x1 3x + 5y + 4z = 28 - 7x - 11y = 28 …(5)

Dari persamaan di atas diperoleh : 19x + 5y = 76 x 11 209x + 55y = 836 7x - 11y = 28 x 5 35x – 55y = 140 + 244x = 976 ↔ x = 4 x = 4 disubstitusikan ke pers. 7x – 11y = 28 7(4) – 11y = 28 – 11y = 28 – 28 – 11y = 0 ↔ y = 0

x = 4 dan y = 0 disubstitusikan ke pers 1), diperoleh : 5x – 3y + 2z = 28 ↔5(4) – 3(0) + 2z = 28 ↔ 20 + 2z = 28 ↔ 2z = 8 ↔ z = 4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0, 4)}