Sistem Persamaan Linear Gema Parasti Mindara

Persamaan linear Persamaan linear yaitu persamaan dimana nilai pangkat tertinggi dari variabelnya bernilai satu. Persamaan linear dengan n buah variabel x1, x2, x3, …, xn dimana persamaannya dapat dinyatakan dalam bentuk: Dimana a1, a2, a3, …, an adalah konstanta real a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + …+ an.xn = b

Dapat disajikan dalam notasi matriks Ax = b Secara umum, sistem persamaan linear dengan n variabel dan m persamaan dapat disajikan dalam bentuk: Dapat disajikan dalam notasi matriks Ax = b a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm 𝑎 11 𝑎 12 … 𝑎 1𝑛 𝑎 21 … 𝑎 22 … … 𝑎 2𝑛 … 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛

Berdasarkan bentuk matriks koefisien A, sistem persamaan linear diatas dikelompokkan kedalam 3 kelas, yaitu: m < n: sistem persamaan under-determined, yaitu banyaknya variabel (n), lebih dari banyaknya persamaan (m). Dalam hal ini, terdapat tak hingga banyaknya penyelesaian dengan derajat kebebasan (degree of freedom) n – m m = n: sistem persamaan bujur sangkar, dimana banyaknya variabel sama dengan banyaknya persamaan. Solusi akan ada dan unik bila matriks non-singular atau memiliki invers m > n: sistem persamaan over-determined atau sering juga disebut persoalan kuadrat terkecil. Dalam hal ini umumnya tidak ada solusi.

Solusi Banyak (Tak hingga) Solusi Unik Tidak ada solusi

Bagaimana cara menyelesaikan solusinya? Contoh 1 : Perhatikan sistem persamaan linear berikut: 2x1 + 3x2 – 5x3 = -8 - x1 – x2 + 15x3 = 42 5x1 – 2x2 + x3 = 11 Berapakah nilai dari masing-masing variabel x1, x2 dan x3? Jawaban : x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 Bagaimana cara menyelesaikan solusinya?

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan: Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Matriks balikan Metode Dekomposisi LU Metode Lelaran Jacobi Metode Lelaran Gauss-Seidel

Sistem Linear Segitiga Atas Sistem persamaan linear Ax = b, dengan matriks koefisien A berupa matriks segitiga atas, dapat ditulis dalam bentuk: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a22x2 + … + a2nxn = b …………. …… ……. ….. ……. …….. …… ….. …… am-1,n-1xn-1 + am-1,nxn = bn-1 amnxn = bn Dengan asumsi, elemen-elemen diagonal tak sama dengan nol akk  0, untuk k = 1,2,…,n, maka terdapat suatu solusi tunggal untuk sistem linear tersebut. jika tidak, maka akan tidak terdapat solusi atau solusinya berjumlah tak hingga.

Solusi yang diberikan dapat dicari dengan melakukan penyulihan mundur, yaitu dengan menyelesaikan persamaan terakhir pertama kali, diperoleh nilai xn, selanjutnya peroleh nilai xn-1 sampai terakhir didapatkan nilai x1. Mencari nilai xn 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛  𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 𝑎 𝑚𝑛 Mencari nilai xn-1 setelah diketahui nilai xn 𝑎 𝑚−1,𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑚−1,𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛−1  𝑥 𝑛−1 = 𝑏 𝑛−1 − 𝑎 𝑚−1,𝑛 𝑥 𝑛 𝑎 𝑚−1,𝑛−1 Mencari nilai xn-2 setelah diketahui xn-1 dan xn 𝑎 𝑚−2,𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + 𝑎 𝑚−2,𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑚−2,𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛−2  𝑥 𝑛−2 = 𝑏 𝑛−2 − 𝑎 𝑚−2,𝑛−1 𝑥 𝑛−1 − 𝑎 𝑚−2,𝑛 𝑥 𝑛 𝑎 𝑚−2,𝑛−2

Setelah nilai xn, xn-1, xn-2 diketahui, maka diperoleh nilai xk sebagai: 𝑥 𝑘 = 𝑏 𝑘 − 𝑗=𝑘+1 𝑛 𝑎 𝑘𝑗 𝑥 𝑗 𝑎 𝑘𝑘 , k = n-1, n-2,…,1; akk0 Determinan Matriks segitiga atas Jika A adalah matrisk segitiga, maka nilai determinannya adalah hasilkali elemen-elemen diagonalnya, det(A)=a11 x a12 x … x amn Contoh 2 : Gunakan metode penyulihan mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: 4x1–x2+2x3+3x4 = 20 -2x2+7x3-4x4 = -7 6x3+5x4 = 4 3x4 = 6

Eliminasi Gauss & Pivoting Metode Eliminasi Gauss pada prinsipnya bertujuan mentransformasikan sistem Ax = b menjadi Ux = y. Dimana U adalah matriks segitiga atas. Selanjutnya, pencarian nilai variabel x dihitung dengan teknik penyulihan mundur. [A,b] = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 menjadi [U,y] [U,y] = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝟎 𝑎 22 1 𝑎 23 (1) 𝟎 𝟎 𝑎 33 2 𝑏 1 𝑏 2 (1) 𝑏 3 (2) Dimana (1) dan (2) menunjukkan bahwa elemen matriks A berubah sebanyak satu kali dan dua kali.

Dua sistem persamaan linear berukuran nxn dikatakan setara apabila himpunan solusinya sama. Teorema-teorema dari aljabar linear memperhatikan bahwa bilamana transformasi tertentu diterapkan pada suatu sistem yang diketahui, maka himpunan solusinya tidak berubah. Untuk dapat merubah sistem persamaan linear kedalam bentuk matriks segitiga atas maka dapat dilakukan dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer) pada matriks [A,b]. Peubah-peubah xk adalah pemegang posisi untuk koefisien-koefisien dan dapat dihilangkan sampai akhir perhitungan.

Operasi-operasi berikut, bila diterapkan pada matriks lengkap akan menghasilkan sistem yang setara: Pertukaran: urutan dua baris dapat ditukar Penskalaan: perkalian sebuah baris dengan konstanta tidak nol Penggantian: sebuah baris dapat diganti oleh jumlah baris itu dengan suatu kelipatan sembarang baris lainnya. Contoh 3: 2x1 + 3x2 – 5x3 = -8 - x1 – x2 + 15x3 = 42 5x1 – 2x2 + x3 = 11

Penyelesaian: Eliminasi kolom 1 dengan menggunakan pivot a11 = 2 𝟐 3 −5 −1 −1 15 5 −2 1 −8 42 11 R2,R1(1/2) dan R3,R1(-5/2) Eliminasi kolom 2 dengan menggunakan a22 = 1/2 2 3 −5 𝟎 𝟏 𝟐 25 2 𝟎 − 19 2 27 2 −8 38 31 R3,R2(19) 2 3 −5 𝟎 𝟏 𝟐 25 2 𝟎 𝟎 251 −8 38 753 Baris yang angka-angkanya diberi tanda merah merupakan baris tumpuan, dimana angka yang ditebalkan merupakan pivot untuk mengeliminasi kolom dibawah diagonal matriks. Setelah matriks berubah menjadi segitiga atas, maka lakukan metode penyulihan mundur. Proses diatas disebut dengan Proses Eliminasi Gauss

Proses eliminasi Gauss harus dimodifikasi sehingga dapat dipakai dalam keadaan apapun. Kelemahan Eliminasi Gauss Jika pivot akk = 0, maka baris ke-p tidak dapat digunakan untuk mengeliminasi elemen pada kolom k, karena terjadinya pembagian dengan nol. Oleh karena itu, pivot yang bernilai nol harus dihindari dengan strategy pivoting. Metode Eliminasi Gauss dengan strategy pivoting disebut metode Eliminasi Gauss yang diperbaiki (Modified Gaussian Elimination)

Contoh 4 : Selesaikan sistem persamaan linear dengan menerapkan metode eliminasi Gauss yang menerapkan tataancang pivoting. x1 + 2x2 + x3 = 2 3x1 + 6x2 = 9 2x1 + 8x2 + 4x3 = 6 Penyelesaian: 𝟏 2 1 3 6 0 2 8 4 2 9 6 𝑅2,𝑅1(−3) 𝑅3,𝑅1(−2) 1 2 1 0 𝟎 −3 0 4 2 2 3 2 𝑅3↔𝑅2 ∗ 1 2 1 0 4 2 0 0 −3 2 2 3 Karena pada elemen a22 =0, maka dilakukan pertukaran (*) antara baris 2 dan 3.

Jika terdapat beberapa elemen tak nol pada kolom k yang terletak dibawah diagonal utama, maka terdapat pilihan untuk menentukan baris mana yang ditukar. 2 macam pivoting untuk memperkecil galat: Pivoting sebagian (partial pivoting), pivot dipilih dari semua elemen pada kolom k yang mempunyai nilai mutlak terbesar, yaitu bertujuan untuk memperkecil perambatan galat, maka periksa besarnya semua elemen d kolom k yang terletak pada atau dibawah diagonal: 𝑎 𝑝𝑘 =𝑚𝑎𝑥 𝑎 𝑘𝑘 , 𝑎 𝑘+1,𝑘 ,…, 𝑎 𝑛−1,𝑘 , 𝑎 𝑛𝑘 Pivoting lengkap (complete pivoting), yaitu jika disamping baris kolom juga diikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan. Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan program.

Latihan: Selesaikan dengan menggunakan Metode Gauss

Eliminasi Gauss-Jordan Metode Eliminasi Gauss-Jordan merupakan variasi dari eliminasi Gauss . Metode ini memiliki keuntungan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear pada komputer. Yaitu dengan cara melakukan perhitungan tambahan yang mereduksi matriks menjadi matriks identitas sebagai pengganti matriks segitiga.

Oleh karena itu, untuk mencari nilai-nilai variabelnya tidak diperlukan lagi metode penyulihan mundur untuk memperoleh solusi SPL. Solusinya langsung diperoleh dari vektor kolom b hasil proses eliminasi. Ax = b  Ix = b’ Seperti pada metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan tidak menerapkan pivoting dalam proses eliminasi.

𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 ⋮ 𝑎 𝑛2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 ⋮ 𝑎 𝑛3 … … ⋱ … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ⋮ 𝑏 𝑛  1 0 0 ⋮ 0 0 1 0 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 0 … … ⋱ … 0 0 0 ⋮ 1 𝑏′ 1 𝑏′ 2 𝑏′ 3 ⋮ 𝑏′ 𝑛 Solusinya: x1 = b’1 x2 = b’2 x3 = b’3 ….. …. xn = b’n

Contoh 5: Selesaikan dengan Eliminasi Gauss-Jordan. 𝑥 1 + 4 𝑥 2 =2 −4 𝑥 1 + 𝑥 3 =10 −2 𝑥 1 −6 𝑥 2 =12 Penyelesaian: 𝟏 4 0 −4 0 1 −2 −6 0 2 10 12 𝐵2,𝐵1(4) 𝐵3,𝐵1(2) 1 4 0 0 16 1 0 −6 2 2 18 16 1 4 0 0 16 1 0 −6 2 2 18 16 B2(1/16) 1 4 0 0 1 1 16 0 −6 2 2 9 8 16

1 4 0 0 𝟏 1 16 0 −6 2 2 9 8 16 𝐵1,𝐵2(−4) 𝐵3,𝐵2(6) 1 0 − 1 4 0 1 1 16 0 0 38 16 13 2 9 8 91 4 1 0 − 1 4 0 1 1 16 0 0 38 16 13 2 9 8 91 4 B3(16/38) 1 0 − 1 4 0 1 1 16 0 0 1 13 2 9 8 182 19 1 0 − 1 4 0 1 1 16 0 0 𝟏 13 2 9 8 182 19 𝐵1,𝐵3( 1 4 ) 𝐵2,𝐵3(− 1 16 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 233 76 − 135 304 182 19 Solusinya: b’1 = x1 = 233/76 = 3.0657895 b’2 = x2 = -135/304 = 0.4440789 b’3 = x3 = 182/19 = 9.5789474

Penyelesaian SPL dengan menggunakan metode Gauss-Jordan membutuhkan jumlah komputasi yang lebih banyak daripada metode eliminasi Gauss. Karena alasan itulah, penyelesaian SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss sudah cukup memuaskan. Namun, metode Eliminasi Gauss Jordan merupakan dasar dari pembentukkan matriks invers.

Latihan: Selesaikan dengan menggunakan Metode Gauss-Jordan

Metode Matriks Balikan (Invers Matrix)