MODEL RANTAI MARKOV Pertemuan 11 Mata kuliah : S0872 – Riset Operasi Tahun : 2010 MODEL RANTAI MARKOV Pertemuan 11

MATERI Lingkup Problema Keputusan Markovian Model Pemrograman Finite Stage Dynamic Penerapan Dalam Teknik Sipil Bina Nusantara University

LINGKUP KEPUTUSAN MARKOVIAN Keputusan Markovian merupakan penerapan programasi dinamis untuk menyelesaikan proses keputusan stochastic yang dinyatakan dengan sejumlah keadaan. Rantai Markov menyatakan transisi antara keadaan-keadaan. Rantai Markov dinyatakan sebagai atau dalam matriks transisi. Pendapatan (hasil) dinyatakan dalam matriks dengan elemen berupa hasil (revenue) atau biaya (cost) dari perpindahan antar keadaan. Matriks transisi dan matriks hasil tergantung pada alternatif yang dipunyai oleh pengambil keputusan. Tujuan model adalah untuk menentukan kebijakan optimal dengan hasil maksimal. Penggunaan antara lain dalam inventori, kebijakan penggantian peralatan, pengelolaan cash flow, pengaturan kapasitas bendungan dan sebagainya. Bina Nusantara University

MODEL FINITE STAGE DYNAMIC Tinjau Contoh Keadaan Tanah Perkebunan dan Produktifitasnya berikut ini. Apabila notasi keadaan sistem dari produksi perkebunan berdasarkan keadaan tanah adalah sebagai berikut: Matriks transisi kemungkinan tanpa pupuk P1 dan dengan pemupukan P2 dinyatakan sebagai: tanpa pupuk dengan pupuk Dan k adalah alternatif keputusan pengolahan tanah tersebut, yaitu: k = 1 tanpa pemupukan, dan k = 2 dengan pemupukan Maka keputusan optimal apa yang harus diambil agar diperoleh hasil maksimal dalam tahun-tahun mendatang. (misalnya diambil 3 tahun) Dan matriks hasilnya adalah: Produksi Sesuai Keadaan Tanah Keadaan Sistem Bagus 1 Sedang 2 Jelek 3 1 2 3 0.2 0.5 0.3 P1 = 1 2 3 0.3 0.6 0.1 P2 = 0.05 0.4 0.55 1 2 3 7 6 R1 = 5 -1 1 2 3 6 5 -1 R2 = 7 4 -2 Bina Nusantara University

MODEL FINITE STAGE DYNAMIC Untuk analisis selanjutnya digunakan beberapa notasi lain, yaitu: N adalah tahapan tahun mendatang yang ditinjau, bila tertentu disebut finite stage, seterusnya disebut infinite stage m adalah jumlah keadaan masing-masing tahap (dalam kasus ini ada 3: baik, sedang, jelek) n adalah tahapan i merupakan keadaan sistem pada tahap awal atau tahap n j menyatakan keadaan sistem pada tahap n+1 Maka fn(i)= hasil optimal pada tahap n, n+1, …, N dimana keadaan sistem pada tahun awal adalah i. Persamaan rekursif kebelakang antara fn dan fn+1 dimana fN+1 (j) ≡ 0 untuk semua j menjadi: Artinya: hasil kumulatif rijk + fn+1(j) ketika mencapai keadaan j pada tahap n+1 dari keadaan i pada tahap n mempunyai kemungkinan sebesar pijk. Selanjutnya bila νik menyatakan hasil transisi tunggal dari keadaan i pada alternatif k maka: Dan persamaan programasi dinamis rekursif dapat ditulis menjadi: Bina Nusantara University

MODEL FINITE STAGE DYNAMIC Untuk tahap 3 (tahun ke 3) Untuk tahap2 (tahun ke 2) Untuk tahap 1 (tahun ke 1) 2 0.4 -1 3 3.1 1 5.3 4.7 5.1 k* f3(i) k=2 k=1 Solusi Optimal νik i 2 2.13 0.4+0.5*5.3+0.4*3.1+0.55*0.4=2.13 -1+0*5.3+0*3.1+1*0.4= - 0.6 3 5.61 3.1+0.1*5.3+0.6*3+0.3*0.4=5.61 3+0*5.3+0.5*3.1+0.5*0.4=4.75 8.19 4.7+0.3*5.3+0.6*3.1+0.1*0.4=8.19 5.3+0.2*5.3+0.5*3.1+0.3*0.4=8.03 1 k* f3(i) k=2 k=1 Solusi Optimal νik + pi1k f3(1) + pi2k f3(2) + pi3k f3(3) i 2 4.23 0.4+0.5*8.19+0.4*5.61+0.55*2.13=4.23 -1+0*8.19+0*5.61+1*2.13 = 1.13 3 7.92 3.1+0.1*8.19+0.6*5.61+0.3*2.13 = 7.92 3+0*8.19+0.5*5.61+0.5*2.13 = 6.87 10.74 4.7+0.3*8.19+0.6*5.61+0.1*2.13=10.74 5.3+0.2*8.19+0.5*5.61+0.3*2.13=10.83 1 k* f3(i) k=2 k=1 Solusi Optimal νik + pi1k f2(1) + pi2k f2(2) + pi3k f2(3) i Bina Nusantara University

MODEL FINITE STAGE DYNAMIC Dari hasil analisis diatas dapat diambil kesimpulan bahwa optimal solution: Harus pakai pupuk pada tahun ke 1 dan 2 (k* = 2) Pada tahun ke 3 pakai pupuk hanya untuk keadaan 2 atau 3 saja (sedang dan jelek) Hasil maksimal untuk 3 tahun: f1 (1) = 10.74 – bila sistem bagus f1 (3) = 7.92 – bila sistem sedang, dan f1 (3) = 4.23 – bila sistem jelek Bina Nusantara University

PENERAPAN DALAM TEKNIK SIPIL Pengelolaan bendungan Proses produksi Penggantian peralatan Dsb. Bina Nusantara University

SOAL LATIHAN Tentukan solusi optimum pada pembahasan diatas bila ditentukan: N = 4 N = 5 N = 6 Bina Nusantara University