Homomorfisma Definisi Suatu pemetaan  dari grup G kedalam grup G’ dikatakan homomorfisma jika untuk setiap a,bG, (ab)=(a)(b).

contoh (x)=e untuk setiap xG, demikian juga (x)=x untuk setiap xG merupakan homomorfisma. Misalkan G grup dari semua bilangan real terhadap operasi penjumlahan (catatan ab menjadi a+b) dan G’ adalah grup dari semua bilangan real tak nol dengan operasi perkalian. Definiskan :GG’ dengan (a)=2a untuk setiap aG.  adalah homomorfisma dari G kedalam G’.

contoh 3. Misalkan G=S3={e, , , 2, , 2} dan G’ = {e, }. Definisikan pemetaan f:GG’ dengan f(j i)=i, maka f(e)=e, f()=, f()=e, f(2)=e, f()=, f(2)= .

contoh 4. Misalkan G grup dari bilangan bulat dibawa operasi penjumlahan dan G=G’. Untuk setiap xG definisikan  dengan (x)=2x. Maka  adalah homomorfisma. 5. Misalkan G grup dari bilangan real tak nol dibawa operasi perkalian. G’={1,-1} dimana 1.1=1, (-1)(-1)=1, (-1)1=1(-1)=- 1. Definisikan : GG’ dengan (x)=1 jika x bilangan positif, (x)=-1 jika x negatif.

contoh 6. Misalkan G grup bilangan bulat dibawa operasi penjumlahan, misalkan G’ adalah grup bilangan bulat modulo n dibawa operasi penjumlahan. Definisikan  dengan (x) = sisa dari x dibagi n. Maka  adalah homomorfisma. 7. Misalkan G grup dari bilangan real positif dibawa operasi perkalian dan G’ adalah grup dari semua bilangan real dibawa operasi penjumlahan. Definisikan :GG’ dengan (x) = log10(x). Maka (xy) = log10(xy) = log10(x)+log10(y) = (x)+ (y).

Contoh 8. Misalkan G grup dari matriks bilangan real 2x2, dengan ad-bc  0 dibawah operasi perkalian matriks. Misalkan G’ grup dari semua bilangan real tak nol dibawa operasi perkalian. Definisikan : GG’ dengan . Tunjukan bahwa  adalah homomorfisma grup.

lemma Misalkan G grup, N subgrup normal dari G; definisikan pemetaan  dari G ke G/N dengan (x)=Nx untuk setiap xG. Maka  adalah homomorfisma dari G pada G/N

definisi Jika  adalah suatu homomorfisma dari G kedalam G’, dengan kernel dari , K, adalah didefinisikan dengan K={xG:(x)=e’, dimana e’ adalah unsur identitas dari G’}.

Lemma 1. Jika  adalah suatu homomorfisma dari G kedalam G’, maka: a. (e) = e’, dimana e’ adalah unsur identitas dari G’. b. (x-1)= (x )-1 untuk setiap xG. Jika  adalah suatu homomorfisma dari G kedalam G’ dengan kernel K, maka K adalah subgrup normal dari G. Jika  adalah suatu homomorfisma dari G pada G’ dengan kernel K, maka himpunan semua bayangan invers dari g’G’ dibawa  dalam G adalah Kx, dimana x adalah bayangan invers dari g’ dalam G.

definisi Suatu homomorfisma  dari G kedalam G’ dikatakan isomorfisma jika  satu- satu. Dua grup G, G* adalah isomorfik jika terdapat suatu isomorfisma dari G pada G*. Dalam hal ini dinotasikan GG*.

GG Jika GG * maka G*G. Jika GG*, G*G** maka GG** catatan GG Jika GG * maka G*G. Jika GG*, G*G** maka GG**

AKIBAT Suatu homomorfisma  dari G kedalam G’ dengan kernel K adalah isomorfisma dari G dalam G’ jika dan hanya jika K=(e).

Misalkan  homomorfisma dari G pada G’ dengan kernel K. Maka G/KG’. TEOREMA Misalkan  homomorfisma dari G pada G’ dengan kernel K. Maka G/KG’.

LEMMA Misalkan  homomorfisma dari G pada G’ dengan kernel K. Untuk H’ subgrup dari G’. Misalkan H didefinisikan dengan H={xG: (x)H’}. Maka H adalah subgrup dari G dan HK; Jika H’ adalah normal dalam G’, maka H adalah normal dalam G.

THEOREMA Misalkan  homomorfisma dari G pada G’ dengan kernel K. Dan Misalkan N’ subgrup normal dari G’, N={xG: (x)N’}. Maka G/N(G’/N’). Ekivalen mengatakan G/N(G/K)/(N/K)

THEOREMA G G’ G’/N’ G/N

THEOREMA g (g) N’(g) Ng