PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN (LOGIKA KALIMAT, KALIMAT PENGHUBUNG, PEMBUKTIAN) PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

LOGIKA Logika adalah Ilmu yang mempelajari tentang cara berpikir yang logis/masuk akal Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-aturan dasar yang berlaku.

LOGIKA KALIMAT SEMESTA PEMBICARAAN Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun  negatif. Adakalanya  nilai  semesta  pembicaraan  ini  tidak dibatasi batas atasnya. Contoh : Semesta pembicaraan untuk variabel umur: [0 + 8]   Semesta pembicaraan untuk variabel temperatur: [0 40]

Tadi pagi ada tabrakan mobil di dekat monas KALIMAT DEKLARATIF Kalimat Pernyataan/Deklaratif adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai benar atau salah saja dan tidak dua-duanya, sebuah kalimat pernyataan biasanya di lambangkan satu huruf kecil, misal: p, q, r dan lain-lain. Untuk negasi/ingkaran dari pernyataan dilambangkan “~”. CONTOH Tadi pagi ada tabrakan mobil di dekat monas Saya lihat ada bus masuk ciliwung tadi pagi

KONSTAN NOMINAL, DENOTASI, DESIGNASI konstanta Simbul-simbul seperti di atas itu semuanya Apa yang dilambangkan oleh suatu lambang disebut denotasi Sedangkan lambangnya sendiri disebut designasi dari   apa yang dilambangkan olehnya.

VARIABEL Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Contoh : 4 + x = 7 Dari contoh di atas x disebut variabel dan nilai x akan bernilai benar apabila x diganti dengan nilai 3 .

KALIMAT DAN PENGHUBUNG KALIMAT Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dibutuhkan penghubung. Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini disebut pernyataan majemuk (compound statement).

KONJUNGSI, DISJUNGSI, NEGASI Notasi: , . , , atau  Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan. Sifat simetri: P  Q = Q  P. Negasi P  Q adalah ~P  ~Q. Tabel Kebenaran: Contoh: Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam. “dan” digunakan seperti yang dimaksud(simbol ). Prinsip simetri berlaku. PQ = QP

DISJUNGSI Notasi:  atau + atau  Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T . Sifat simetri: P  Q = Q  P. Negasi P  Q adalah ~P  ~Q. Tabel Kebenaran: Contoh : melati berbau harum dan melati berwarna putih. “dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Prinsip simetri berlaku. PQ = QP

NEGASI Notasi: ¬ atau ~ atau ¯ atau ’ Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan ~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Tabel Kebenaran CONTOH : P : Hari ini hujan ~P: Hari ini tidak hujan

IMPLIKASI MATERIAL Notasi:  (maka) Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka implikasi pernyataan P  Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah s uatu pernyataan conditional. P disebut antecedent dan Q adalah consequent. Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam arti bahwa PQ tidak sama dengan QP. P  Q  (ekuivalen dengan) ~P  Q. ~(P  Q)  ~(~P  Q)  P  ~Q. Tabel Kebenaran: Contoh : P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah. PQ : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah.

BIIMPLIKASI Notasi:  Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka biimplikasi pernyataan P  Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama. PQ mempunyai sifat simetri yaitu: PQ = QP. Contoh: P=Q jika dan hanya jika PQ dan QP. P  Q  (PQ)  (QP) Tabel Kebenaran:

URUTAN MENGERJAKAN OPRASI MENGHUBUNGKAN KALIMAT Perhatikan kalimat majemuk berikut :   (A B) ((A & C) (B & C)) Dengan adanya tanda kurung, kita mengetahui urutan mengerjakan operasi yang di atas. Tapi apabila kalimatnya memuat banyak tanda operasi, maka diperlukan banyak tanda kurung. Untuk mengurangi tanda banyaknya kurung tersebut maka diadakan kesepakatan berupa urutan kuasa operasi sebagai berikut : negasi konjungsi Disjungsi implikasi biimplikasi. Contoh : A & . B C bisa ditulis A & (B C ) A v B . & C bisa ditulis (A v B) & C Dengan sendirinya dua tanda titik akan lebih kuat dari pada satu tanda titik dan seterusnya.

VARIABEL KALIMAT, TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI PEMBUKTIAN VARIABEL KALIMAT, TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI TAUTOLOGI Tautologi adalah pernyataan yang nilainya selalu benar. Contoh: P  ~P Kontradiksi adalah pernyataan yang nilainya selalu salah. Contoh: P  ~P

Rumus – Rumus Tautologi Rumus (Komutatif) p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p 2. p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p Rumus Distributif) p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 2. p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 1. p ∧ T ⇐⇒ T ∧ p ⇐⇒ p 2. p ∧ F ⇐⇒ F ∧ p ⇐⇒ F 3.p ∨ F ⇐⇒ F ∨ p ⇐⇒ p 4.p ∨ T ⇐⇒ T ∨ p ⇐⇒ T 1. p ∨ p ⇐⇒ T 2. p ∧ p ⇐⇒ F

. Menggunakan hukum kontradiksi, kemudian kita memperoleh ⊢ ~(p& ~p). Reducsio ad absurdum berikut pengembangan matematis terhadap pemahaman bagaimana penggunaan reductio ad absurdum. Anggap p⊢ ~p. Dari pernyataan di atas, maka  ⊢p→ ~p. p → (p& ~p), karena menurut pernyataan di atasp→p. Dari pernyataan sebelumnya, dengan menggunakan kontraposisi, kita mendapatkan ⊢ ~(p& ~p) → ~p . Menggunakan hukum kontradiksi, kemudian kita memperoleh ⊢ ~(p& ~p). Terakhir dengan menggunakan modus ponens dari pernyataan ke 4 dan 5, hasil yang diperoleh menjadi ⊢ ~p -