Probabilitas dan Statistika BAB 5 Distribusi Peluang Kontinu

Pembahasan Distribusi Normal Luas di Bawah Kurva Normal Hampiran Normal terhadap Binomial Distribusi Gamma dan Eksponensial Distribusi Khi-Kuadrat Distribusi Weibull

Distribusi normal Distribusi suatu data dari sebuah sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng. Ditemukan oleh Abraham DeMoivere (1733). Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution)

Distribusi normal Distribusi Normal, Fungsi Penuh peubah acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ2 adalah Dengan  : 3,14159… dan e=2,71828…

Kurva normal

Karakteristik kurva normal Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva mencapai puncak pada saat X=  Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri

Jenis-jenis distribusi normal Distribusi kurva normal dengan  sama dan  berbeda

Jenis-jenis distribusi normal Distribusi kurva normal dengan  berbeda dan  sama

Jenis-jenis distribusi normal Distribusi dengan  dan  yang berbeda

luas di bawah kurva normal Luas dibawah kurva normal dengan batas x1=a dan x2 = b a  b x

luas di bawah kurva normal P(x1 < X < x2) = = Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku

Contoh 1 Diketahui nilai mata kuliah Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean  = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang 55 ≤ X ≤ 75 60 ≤ X ≤ 80X ≤ 40

Answer 55 < X < 75 P(55<X<75) = = = P(0 ≤Z ≤1,33) = 0,4082 ……(see table ….) Atau = 0,4082

b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293 = 0,3232 atau : Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

c). P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

Contoh 2 Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm? Answer: P(180<X<) Z=X-/ 180-165/102,5 Dengan tabel didapat bahwa peluangnya adalah : 0,9938 Maka besarnya peluangnya adalah  1 - 0,9938 = 0,0062

Contoh 3 Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?

answer

Hampiran normal terhadap binomial Persamaan distribusi binomial b(x;n,p) Review :  = simpangan  = rataan Distribusi Normal :  = np dan dengan q= (1-p)

Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar Ex: peluang yang tepat diberikan oleh

Untuk hampiran normal : x1= 6,5 dan x2 = 9,5 Selanjutnya =P(Z<1,85)-P(Z<0,26) =0,9678 – 0,6026 =0,3652 Hasil ini mendekati dengan hasil yang sebenarnya

Soal latihan Peluang seorang mahasiswa sembuh dari hepatitis A adalah 0,4. Bila ada 100 mahasiswa yang terkena penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari 30 mhs yang sembuh. Saat UM UGM terdapat 200 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan dan hanya 1 pilihan yang benar. Seorang siswa mengerjakan soal tanpa membaca soal sedikitpun, berapa peluang siswa tadi menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal???

Penyelesaian : Misal : peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh, Karena n = 100 maka µ = np = 100 x 0,4 = 40 Dan Untuk mendapatkan peluang yang dicari digunakan x= 29,5 Peluang ≤ 30 pasien yang sembuh dari 100 pasien : P(X<30) ≈ P(Z < ─2.14) = 0,0162

Distribusi Gamma dan Eksponensial Fungsi gamma didefinisikan sebagai: Untuk Jadi Sifat penting fungsi gamma :

Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan Diperoleh Maka Jadi diperoleh

Dengan formula (rumus) berulang diperoleh : : dan seterusnya Jika dengan bilangan n bulat positif, maka

Distribusi gamma Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi padatnya berbentuk : Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi Eksponensial

Distribusi gamma

Distribusi eksponensial

Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk : Rata-rata dan variansi distribusi gamma : Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :

Contoh 4 Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan berfungsi pada akir tahun ke delapan. Jawab: Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah:

Contoh 5 Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit. Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 sambungan telepon masuk ke gardu tadi Jawab: Proses poisson berlaku dengan waktu sampai kejadian poisson memenuhi distribusi gamma dengan parameter Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:

Khi kuadrat Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma : Lalu disubstitusi dengan : Menjadi :

Khi kuadrat Parameter V merupakan derajat kebebasan Rataan distribusi chi kuadrat : Variansi distribusi chi kuadrat :

Distribusi weibull Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter , jika fungsi padatnya berbentuk: Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial. Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong.

Distribusi weibull

Rata-rata dan variansi distribusi Weibull Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.