Oleh : Devie Rosa Anamisa Pertemuan : 1 Proposisi Oleh : Devie Rosa Anamisa

Definisi Proposisi Pernyataan Bernilai benar Bernilai salah Nilai logika : 1 Nilai logika : 0 Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

“Gajah lebih besar daripada tikus.” Contoh 1 “Gajah lebih besar daripada tikus.”

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Macam-Macam Proposisi Hipotesis : Pernyataan yang terdiri dari dua bagian yang saling Ketergantungan. Macam-macam : Kondisional (pq) b. Bikondisional (p↔q) Disjungtif : Ditandai : “atau” p v q : proposisi p atau q Konjungtif: dua predikat dihubungkan dengan subjek yang sama Ditandai : “dan” p Λ q : proposisi p dan q

Kondisional (pq) Jika p dan q adalah proposisi, maka proposisi majemuk dari kondisional ditandai dengan “jika.... maka.... atau jika p maka q dan q belum tentu p”. Proposisi hipotesisnya : Bernilai salah jika nilai antenseden benar dan konsekuen salah.

Hipotesis (antenseden) Tabel kebenaran pq Konklusi (konsekuen) Hipotesis (antenseden)

Bikondisional (p↔q) Jika p dan q adalah proposisi, maka proposisi majemuk dari bikondisional ditandai dengan “..... jika dan hanya jika.... Proposisi hipotesisnya : Bernilai benar jika nilai antenseden dan konsekuen, keduanya benar atau nilai antenseden dan konsekuen, keduanya salah

Tabel Kebenaran (p↔q)

Disjungtif (p v q) Digunakan dalam makna inklusif, yaitu: Dinyatakan benar jika p atau q keduanya benar, dinyatakan salah jika p atau q keduanya salah Tabel kebenaran :

Konjungtif (p Λ q) Digunakan dalam makna inklusif, yaitu: Dinyatakan benar jika p dan q keduanya benar, dinyatakan salah jika p dan q keduanya salah Tabel kebenaran :

Negasi Negasi dari p maka ~p, yang artinya proposisi bukan p. Nilai kebenarannya :

Tautologi dan kontradiksi Jika kolom terakhir pada tabel kebenaran hanya memuat T (true). Kontradiksi Jika kolom terakhir pada tabel kebenaran hanya memuat F (false).

Hukum-Hukum Aljabar Operasi Proposisi Hukum idempotent : p v p = p p Λ p = p Hukum assosiatif : (p v q) v r = p v (q v r) (p Λ q) Λ r = p Λ (q Λ r) Hukum komunikatif : p v q = q v p p Λ q = q Λ p Hukum Distributif : p v (q Λ r) = (p v q) Λ (p v r) P Λ (q v r) = (p Λ q) v (p Λ r)

Ekivalensi Logis Dua proposisi P (p,q) dan Q (p,q) dikatakan ekivalen secara logika atau ekivalen atau sama dinotasikan : P(p,q)≡Q(p,q) Contoh proposisi ~(pΛq) dan ~pv~q adalah ekivalen.

Konvers, Invers dan Kontraposisi Pernyataan q p disebut konvers dari pq Invers Pernyataan ~p~q disebut invers dari pq Kontraposisi Pernyataan ~q~p disebut kontraposisi dari pq

Tabel Kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi, dapat ditulis: P q ≡ ~q  ~p

Latihan 1 1. Pascal menemukan mesin hitung dan tidak benar bahwa komputer digital elektronik pertama dirakit pada abad ke-20 atau ∏ dihitung hingga 1.000.000 angka desimal pada tahun 1954. Simbol proposisi Tentukan apakah benar atau salah

Simbol proposisi : (pΛ~q) v r Jawab: p : pascal menemukan mesin hitung q : komputer digital elektronik pertama dirakit pada abad ke-20 r : ∏ dihitung hingga 1.000.000 angka desimal pada tahun 1954 Simbol proposisi : (pΛ~q) v r

Benar atau salah : (pΛ~q) v r = (T Λ ~T) v F = (T Λ F) v F = F v F = F

2. Benar atau Salah: a. Paris berada di Perancis b. 1+1=2 c. 2+2=3 d. Fifi adalah mahasiswa yang pandai dan fifi belajar tiap malam - Simbol proposisi - Benar atau salah - Kesimpulan

3. Buatlah tabel kebenaran ~(pΛ~q)! 4. p : Hari ini adalah hari senin q : hujan turun r : hari ini panas Tuliskan pernyataan dari simbol berikut: - ~p Λ (q v r) - ~(p v q) Λ r

5. p=benar, q=salah dan r=benar a. (pΛq) r b. (p v q) ~r c. p Λ (q r) d. p  (q  r)

6. Tuliskan setiap proposisi berikut dengan simbol dan buktikan jika 1 > 2, maka 3 < 6 adalah p ↔ q = false.

7. p adalah “hari ini dingin” dan q adalah hari ini hujan, berikan sebuah kalimat verbal sederhana yang menggambarkan pernyataan berikut: a. ~p b. p Λ q c. p V q d. q V ~p e. ~(~q)

8. Buktikan bahwa proposisi (p v q) Λ ~ (p v q) adalah kontradiksi.

9. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan : a. jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik b. jika x > 6 maka x² ≥ 36

Latihan 2 1. Pernyataan dibawah ini merupakan proposisi atau bukan? (a) 13 adalah bilangan ganjil (b) Soekarno adalah alumnus UGM. (c) 1 + 1 = 2 (d) 8  akar kuadrat dari 8 + 8 (e) Ada monyet di bulan (f)  Hari ini adalah hari Rabu (g) Untuk sembarang bilangan bulat n  0, maka 2n adalah bilangan genap (h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil (i) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? (j) Isilah gelas tersebut dengan air! (k) x + 3 = 8 (l) x > 3

2. p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah Buatkan pernyataan dengan simbol: p  q p  q p

3. Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : pemuda itu tinggi q : pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik: (a) Pemuda itu tinggi dan tampan (b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan (c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan (d) tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan (e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

4. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa simbolik p v ~(p Λ q) adalah tautologi. 5. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” 6. Tentukan kontraposisi dari pernyataan: (a) jika dia bersalah maka ia dimasukkan penjara (b) jika 6 > 0 maka 6 bukan bilangan negatif (c) iwan lulus ujian hanya jika ia belajar (d) Hanya jika ia tidak terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan

7. Tuliskan setiap proposisi berikut kedalam bentuk “ p jika dan hanya jika q” (a) jika udara diluar panas maka anda membeli es krim dan jika anda membeli es krim maka udara diluar panas. (b) syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan

8. Diberikan pernyataan, “perlu memiliki password yang sah agar anda bisa log on ke server”. a. Nyatakan pernyataan diatas ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q”. b. Tentukan konvers,invers dan kontraposisi dari penyataan tersebut.