ALJABAR MATRIKS pertemuan 8 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

Transformasi Linier Pengertian Transformasi Linier. Pandang 2 buah himpunan A dan B. kemudian pasangkan setiap x є A dengan satu dan hanya satu y є B. Dikatakan terdapat suatu fungsi f : A→B. Contoh 1. Misalkan A = {x1,x2,x3}, B = {y1,y2} , Himpunan A di atas dinamakan Domain dan himpunan B dinamakan Codomain. terlihat bahwa setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B. Jadi f adalah fungsi f : A→B. Contoh 2. terlihat bahwa tidak setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B. jadi f adalah bukan fungsi A B Catatan : Apabila himpunan A dan B di samping merupakan himpunan bilangan riil R1 atau himpunan bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya dapat dirumuskan dalam 1 hubungan matematis. Contoh 3. Diketahui Suatu transformasi T : R3→ R3 dengan rumus Transformasi T(x1,x2,x3) = (2x1 – x2 ,x2 + x3 ,x32), untuk setiap x = (x1,x2,x3)єR3. vector(2,1,-1) akan ditransformasikan oleh T menjadi : T(2,1,-1) = (3,0,1). Kita katakan vektor (3,0,1) adalah peta dari vektor (2,1,-1), sebaliknya vektor (2,1,-1) adalah prapeta dari vektor (3,0,1)

Perubahan Basis Basis orthonormal Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2,…, v n adalah vektor – vektor dalam V. Beberapa definisi penting a. H = { v 1, v 2,…, v n } disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus ,yaitu < v i, v j > = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…,n. b. G = { v 1, v 2,…, v n }disebut himpunan orthonormal bila G himpunan orthogonal normalisasi dari vi = 1 , i = 1,2,…,n atau < v i, v i > = 1 Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan orthonormal Diketahui V RHD (Ruang Hasil kali Dalam / perkalian dot) dan H = { v 1 , v 2,…, v n }∈ V merupakan himpunan orthogonal dengan vi ≠ 0 maka bisa didapatkan himpunan orthonormal yang didefinisikan sebagai S = { s1, s2,…, sn } dengan , i = 1,2,…,n. Kalau dilihat secara seksama , sebenarnya rumusan ini merupakan rumusan dari metode Gramm– Schimdt (google untuk lebih jelas) yang telah mengalami reduksi yaitu untuk nilai proy W(vi) = 0 akibat dari v 1 , v 2,…, v n yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang orthonormal biasa disebut dengan menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n , maka S juga merupakan basis orthonormal dari V.

Contoh :

Next , Jika V ruang vektor, S : { s1, s2,…, sn } merupakan basis V maka untuk sembarang x ∈ V, dapat dituliskan : x = k1.s1 + k2.s2 +…+ kn.sn dengan k1, k2, …, kn skalar. k1, k2, …, kn juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S. disebut matriks x relatif terhadap basis S Jika S merupakan basis orthonormal , maka Apa hubungannya dengan perubahan basis ?

Ini hubungannya …

Contoh :

Transformasi Vektor Linier Definisi : T : V →W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. Transformasi T disebut transformasi vektor linier jika terpenuhi : 1. Untuk setiap v1,v2 є V T(v1) + T(v2) = T(v1+v2), dan 2. untuk setiap v є V dan λ berlaku λT(v) = T(λv) Contoh : Diketahui T : R3→R3 dimana T(x1,x2,x3) = (2x1+x2 , x2 , x3+1) untuk setiap (x1,x2,x3) є R3. T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1,misal tak terpenuhi. Ambil v1 = (1,0,1), v2 = (1,0,1) maka T(v1) + T(v2) = (2,0,1) + (2,0,2) = (4,0,3). Sedangkan T(v1+v2) = (4,0,2) Jadi T(v1)+T(v2) ≠ T(v1+v2)

Matriks dan Transformasi Vektor Linier Definisi : Pandang T : Rn→Rn .suatu transformasi vektor linier. { ei }, i = 1,2,3,…,n, basis natural Rn . { εi } , i = 1,2,3,…,m, basis natural Rm . T(e1), T(e2),… T(en) adalah vector-vektor di Rm, sehingga merupakan kombinasi linier dari { εi } Misalnya : T(e1) = a11ε1+ a21ε2+…+ am1εm T(e2) = a12ε1 +a22ε2+…+ am2εm … … … … … T(en) = a1nε1+ a1nε1+…+ amnεm Transpose dari matriks koefisien diatas : Disebut matriks REPRESENTASI dari transfomasi linier T yang relative terhadap basis-basis natural { ei } dan { εi }

Contoh : T : R3 → R3 .suatu transformasi linier dimana T(x1,x2,x3) = (x1,2x2,x1+x3). Mencari matriks transformasi tak lain adalah mencari peta dari vektor - vektor basis.jika tidak disebutkan maka menggunakan basis natural (matriks identitas). T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,1)=1e1 + 0e2 + 1e3. T(e2) = T(0,1,0) = (0,2,0)=0e1 + 2e2 + 0e3. T(e3) = T(0,0,1) = (0,0,1)=0e1 + 0e2 + 1e3. Maka matriks Representasi nya adalah Misalnya peta dari (2,3,1) , maka vektor hasil dari transformasi linier nya adalah

Tugas Joint dalam kelompok (3 orang) – kelompok ditentukan oleh dosen Buatlah soal (Boleh Goggling) mengenai pertemuan hari ini lengkap dengan solusi dalam menjawab soal tersebut (WAJIB 10 soal!!! ) Syarat penilaian : Tepat 10 soal (10 point) Solusi + Jawaban dari soal diatas (40 point) – nilai maximum untuk solusi & jawaban yg benar Tidak ada kerjasama antar kelompok (10 point) Tingkat kerumitan soal tinggi (40 point)