Aturan Inferensi x P(x) Universal instantiation P(c) P(c) utk setiap c Universal generalization  x P(x) x P(x) Existential instantiation P(c) utk suatu c P(c) utk suatu c Existential generalization  x P(x)

Metode Pembuktian (1) Bukti langsung dan Tak langsung Implikasi p  q dapat dibuktikan dengan menunjukkan jika p benar maka q juga harus benar. Soal 9. Berikan bukti langsung dari “Jika n bilangan bulat ganjil maka n2 ganjil.” Bukti Tak langsung Karena p  q ekivalen dengan q  p maka p q dapat dibuktikan dengan menunjukkan bhw q  p benar. Soal 10. Berikan bukti dari “Jika n2 ganjil maka n ganjil.”

Bukti kosong dan bukti trivial Jika hipotesis p dari implikasi p  q salah, maka p  q selalu benar, apapun nilai kebenaran dari q. Contoh. P(n): Jika n > 1, maka n2 > 1. Tunjukkan P(0) benar. Bukti trivial Jika konklusi q dari implikasi p  q benar, maka p  q selalu benar, apapun nilai kebenaran dari p. Contoh. P(n): Jika a, b integer positif dengan a  b, maka an  bn. Tunjukkan P(0) benar.

Metode Pembuktian (2) Bukti dengan kontradiksi Tunjukkan bahwa sedikitnya ada 4 hari yang sama dari pilihan 22 hari sebarang. Buktikan bahwa 2 irasional. bukti tak langsung bukti dg kontradiksi Tunjukkan bahwa jika n2 ganjil maka n ganjil.

Metode Pembuktian (3) Bukti eksistensi Bukti Eksistensi Konstruktif Tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif yang dapat dituliskan sebagai jumlah dua bilangan pangkat 3. Solusi. 1729 = 103 + 93 = 123 + 13. Tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif yg sama dengan jumlah bilangan-bilangan bulat positif yg tidak melebihinya. 2. Bukti Eksistensi Nonkonstruktif Tunjukkan bhw ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional. Solusi. Kita tahu bahwa 2 irrasional. Pandang 22. Jika ia rasional maka terbukti. Jika tidak, perhatikan (22)2= 22=2. Jadi terbukti ada pasangan (x=2, y =2) atau (x= 22 dan y= 2) yg salah satunya memenuhi xy rasional.

Metode Pembuktian (4) Bukti ketunggalan Ada 2 bagian dalam bukti ketunggalan: Menunjukkan bahwa ada elemen x yg memenuhi sifat yg diinginkan. (existence) Menunjukkan bahwa jika y  x maka y tidak memenuhi sifat yg diinginkan. (uniqueness) Contoh. Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat mempunyai invers penjumlahan yang tunggal. Solusi. Jika p bulat maka p+q = 0 ketika q = -p, dan q juga bulat. Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan ada r bulat dengan r  q dan p+r=0. Maka p+q = p+r. Dengan mengurangi kedua ruas dgn p didapat q=r, kontradiksi dgn r  q. Jadi ada bilangan bulat q yang tunggal sehingga p+q=0.

Metode Pembuktian (5) Contoh Penyangkal (Counter Example). Tunjukkan bahwa pernyataan “setiap bilangan bulat positif adalah hasil tambah dari tiga bilangan kuadrat” adalah salah. Solusi. Pernyataan ini benar untuk beberapa nilai, mis. 1=02+02+12; 2=02+12+12 ; 3=12+12+12 ; 4=02+02+22 ; 5=02+12+22 ; 6=12+12+22 . Tapi kita tidak dapat mengekspresikan seperti di atas untuk bilangan 7. Jadi bilangan 7 merupakan contoh penyangkal dari pernyataan di atas.