Erna Sri Hartatik Matematika 1 Pertemuan 1 Himpunan

Pembahasan Kontrak Perkuliahan Pemahaman Tujuan Perkuliahan Himpunan Pengertian himpunan Diagram Venn Operasi antar Himpunan

Kontrak Perkuliahan Kontrak kuliah Mtk.doc GBPP.doc Berisi: -Materi kuliah -aturan perkuliahan -aturan penilaian -daftar pustaka

Himpunan Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari suatu himpunan .

Suatu himpunan dikatakan baik (well-defined set) jika mempunyai syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan, ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan

Notasi Himpunan Dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K , dsb Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y , dsb Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “€” (baca: anggota) Untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “€” (baca: bukan anggota).

Pendefinisian Himpunan Mendaftarkan semua anggotanya. Ex: A = {a,e,i,o,u} B = {2,3,5,7,11,13,17,19} Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya Ex: A = Himpunan vokal dalam abjad latin B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

Menyatakan sifat dengan pola Ex: P = {0,2,4,8,10,…,48} Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…} Menggunakan notasi pembentuk himpunan Ex: P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15} (Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} R = { s | s2 -1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})

Macam-macam Himpunan Himpunan Semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Dilambangkan dengan S atau U. Himpunan Kosong. adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan “Ø” atau { }

Himpunan Bagian Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A Dilambangkan dengan AB. Jadi AB jika dan hanya jika xA xB Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, Dilambangkan dengan AB.

Diagram Venn Merupakan sebuah metode dalam merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut secara grafis.

Salah satu cara merepresentasikan himpunan Contoh : S = { a, e, i, o, u } U = himpunan semua huruf S a e i o u U

Contoh N = { 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan natural Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. } = himpunan bilangan bulat (integer) Z+ = { 1, 2, 3, …. } = himpunan integer positif Q = { p/q | p  Z, q  Z, q  0 } = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan nyata (real numbers)

Operasi Himpunan Gabungan (Union) Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan AB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi AB = { x | xA atau xB } Contoh: A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AB = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Irisan (Intersection) Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan AB adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B. Jadi AB = { x | xA dan xB } Contoh: A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka AB = {c} P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka AB = Ø

Komplemen Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac“ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukan berada di A. Jadi Ac= { x | xS, xA } Contoh: Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

Power Set S adalah himpunan berhingga dengan n anggota Maka power set dari S -dinotasikan P(S)- adalah himpunan dari semua subset dari S dan |P(S)| = 2n Contoh: S = { a, b, c} P(S) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Sifat-sifat operasi Komutatif Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku A  B = B  A dan juga A  B = B  A Asosiatif Diberikan himpunan A, B dan C. Maka berlaku (A  B)  C = A  (B  C) dan juga (A  B)  C= A (B  C).

Idempoten Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku A  A=A dan juga A  A=A Identitas Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A  S=A dan juga A  S=A Distributif Diberikan himpunan A,B dan C. Maka A (B  C) = (A  B) (A  C) dan juga A (B  C)=(A  B) (A  C)

Komplementer Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A  Ac= S dan A  Ac = Ø Dalil De Morgan Diberikan himpunan A dan B. Maka (A  B)c = Ac  Bc dan (A  B)c= Ac  Bc

Prinsip inklusi-eksklusi |A  B| = |A| + |B| - |A  B| |A  B  C| = |A| + |B| + |C|- |A  B| - |A  C| - |B  C| + |A  B  C| |A  B  C  D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A  B| - |A  C| - |A  D| - |B  C| - |B  D| - |C  D| + |A  B  C| +|A  B  D| + |A  C  D| + |B  C  D| - |A  B  C  D|

Contoh Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb.: 64 suka brussels sprouts, 94 suka broccoli, 58 suka cauliflower, 26 suka brussels sprouts dan broccoli, 28 suka brussels sprouts dan cauliflower, 22 suka broccoli dan cauliflower, 14 suka ketiga jenis sayur tersebut. Berapa orang tidak suka makan semua jenis sayur yang disebutkan di atas ?

Jawaban A = {orang yang suka brussels sprouts } B = {orang yang suka broccoli } C = {orang yang suka cauliflower } |A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |A  B| - |A  C| - |B  C| + |A  B  C| = 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154 Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis sayur tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang

Latihan Soal Buktikan bahwa (AB)A Tentukan Power Set dari himpunan dibawah ini: {a} {a,b} {, {}} Diketahui A={1,2,3,4,5} dan B={0,3,6}. Tentukan: A  B A – B A  B B – A