DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT (1)

Pendahuluan Data diskrit merupakan data yang diperoleh dari proses perhitungan. Masing – masing distribusi probabilitas mempunyai parameter. Parameter merupakan suatu besaran yang menggambarkan karakteristik dari sebuah distribusi.

Pendahuluan Jenis – jenis distribusi diskrit : Distribusi Binomial Distribusi Hypergeometrik Distribusi Poisson

Ditribusi Binomial b(x; n, p) = x = 0,1,2, …, n Sebuah percobaan dapat menghasilkan outcome sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q= 1- p. Maka distribusi probabilitas dari variabel random binomial X, jumlah sukses dalam n percobaan independen, adalah: b(x; n, p) = x = 0,1,2, …, n

Contoh 1 : Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas 3/4. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Solusi 1 : Diketahui : p (sukses) = ¾ q (gagal) = ¼ n = 4 x = 2

Contoh 2 : Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 10 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a). Paling banyak 1 orang dpt sembuh b). Paling sedikit 2 orang yg sembuh c). Ada 1 sampai 2 orang yang sembuh d). tepat 1 orang yg sembuh

Solusi 2 : Ada dua cara penyelesaian : Dengan cara manual Dengan cara menggunakan tabel

Dengan Cara Manual (1) : Dik : p = 0.4 n = 10 𝑃 𝑋≤1 =𝑃 𝑋=0 +𝑃(𝑋=1) 𝑃 𝑋≤1 =𝑃 𝑋=0 +𝑃(𝑋=1) P X=0 =𝑏 0, 10, 0.4 = 10 0 ( 0.4) 0 ( 0.6) 10 =0.006 P X=1 =𝑏 1, 10, 0.4 = 10 1 ( 0.4) 1 ( 0.6) 9 =0.04 𝑃 𝑋≤1 = 0.046

𝑃 𝑋≥2 =𝑃 𝑋=2 +𝑃 𝑋=3 +…+𝑃(𝑋=10)

𝑃 𝑋≥2 =1−𝑃(𝑋≤1) = 1 – 0.046 = 0.954

𝑃 1≤𝑋≤2 =𝑃 𝑋≤2 −𝑃 𝑋≤1 𝑃 𝑋≤2 =𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 +𝑃 𝑋=2 P X=2 =𝑏 2, 10, 0.4 = 10 2 ( 0.4) 2 ( 0.6) 8 =0.1209 P (X ≤ 2 ) = 0.046 + 0.1209 = 0.1669 P (1 ≤X ≤ 2) = 0.1669 – 0.046 = 0.1209

P X=1 =𝑏 1, 10, 0.4 = 10 1 ( 0.4) 1 ( 0.6) 9 =0.04

Distribusi Hypergeometrik (1) Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat: Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N benda. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k diberi nama gagal.

Distribusi Hypergeometrik (2) Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai:

Contoh : Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyaknya kimiawan yang duduk dalam panitia.

Solusi (1): Diketahui : N = 8 ( 3 kimiawan dan 5 fisikawan) n = 5 ( jumlah panitia yang dicari) k = 3 (jumlah sukses = kimiawan) X = 3 (jumlah kimiawan)

Solusi (2) :

Distribusi Poisson Merupakan distribusi data diskrit yang menyatakan banyaknya sukses selama rentang waktu tertentu. Rentang waktu yang digunakan bisa beraneka ragam, misalnya per menit, per jam, per hari, per minggu dll.

Rumusan Untuk menentukan nilai probabilitas menggunakan distribusi Poisson, dapat menggunakan rumusan sebagai berikut :

Contoh : Dalam sebuah antrian motor yang masuk sebuah SPBU diperoleh data bahwa rata-rata ada 4 buah motor yang masuk dalam rentang waktu 15 menit. Tentukan probabilitas : Maksimal ada 2 motor yang masuk antrian Minimal ada 2 motor yang masuk antrian Tepat 2 motor yang masuk antrian.

Solusi Dengan perhitungan manual Dengan menggunakan tabel distribusi Poisson

Dengan Cara Manual (1) : Dik : µ = 4 𝑃 𝑋≤2 =𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 +𝑃(𝑋=2) 𝑃 𝑋≤2 =𝑃 𝑋=0 +𝑃 𝑋=1 +𝑃(𝑋=2) P X=0 = 𝑒 −4 . 4 0 0! = 0.0183. 1 1 =0.0183 P X=1 = 𝑒 −4 . 4 1 1! = 0.0183. 4 1 =0.0732 P X=2 = 𝑒 −4 . 4 2 2! = 0.0183. 16 2 =0.1464 P X≤2 =0.0183+0.0732+0.1464=0.2379

𝑃 𝑋≥2 =1−𝑃(𝑋≤1) = 1 – 𝑃 𝑋=0 +𝑃(𝑋=1) = 1- (0.0183 + 0.0732) = 0.9085 c. P X=2 = 𝑒 −4 . 4 2 2! = 0.0183. 16 2 =0.1464

Latihan Soal Dalam pengujian sejenis ban truk yang melalui sebuah jalan ditemukan bahwa 10% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari 15 Truk yang diuji selanjutnya, cari peluang bahwa lebih dari 2 truk yang mengalami pecah ban Rata-rata jumlah telepon yang diterima operator dari jam 10.00 s/d 10.05 adalah sebanyak 3 panggilan.Tentukan peluang ada 3 sampai dengan 5 panggilan yang masuk dalam rentang waktu tersebut.