BAB. 3 (Skalar, Vektor) 5/22/2018 1

Pendahuluan. Di dalam Fisika, pembicaraan suatu gejala [peris-tiwa (alam)], diperlukan pengertian dasar yang disebut besaran. Dalam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran  kita dapat membicarakan (gejala alam) yang bersangkutan dengan kaitan tertentu. 5/22/2018

1. Besaran Skalar Besaran skalar: besaran fisis yang hanya memi-liki besar (kuantitas) saja, (satu dimensi yaitu nilai). Contoh. Suhu, kelajuan, energi dan lain sebagainya. 5/22/2018

2. Besaran Vektor Besaran vektor: besaran fisis yang memiliki dua pengertian dasar yaitu besar (ku-antitas) dan arah. Contoh: gerak mobil, besaran vektornya yaitu ke-cepatan (terdapat arah perpindahan, nilai kelajuan). Besaran vektor digambarkan sebagai anak panah (), (misal A → B). A titik tangkap vektor, panjang panah (panjang AB, nilai, besaran skalar) besar vektor, dan arah panah (arah vektor), B ujung vektor. 5/22/2018

Lanjutan. Jika titik tangkap vektor digeser sepanjang garis kerja vektor tersebut, maka pengaruh vektor tersebut tidak berubah. B! A!   B A Besaran vektor yang tidak dikaitkan dengan sis-tem koordinat disebut vektor planimetrik. , A 5/22/2018

Lanjutan. Vektor A ditulis dengan vektor satuan menjadi Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan Vektor B lawan vektor A, besar vektor A = vektor B, hanya arah-nya berlawanan. 5/22/2018

0perasi Vektor 1. Perkalian vektor dengan tetapan (k), hasilnya vektor dengan besar k kali besar awal vektor. A k = 3, menjadi 3A k = - 2, menjadi - 2A Perkalian skalar dengan vektor dapat digunakan untuk mencari linieritas. 5/22/2018

Contoh. Tentukan nilai y dan z agar ketiga titik A (1, 2, 5); B (4, y, 9) dan C (7, 10, z) menjadi satu garis lurus ! Penyelesaian. Garis AC dinyatakan sebagai vektor, A = 6 i + 8 j + (z - 5) k Garis AB dinyatakan sebagai vektor, B = 3 i + (y - 2) j + 4 k. Tiga titik akan segaris jika AC = k AB atau A = k B, 6 i + 8 j + (z - 5) k = k [3 i + (y - 2) j + 4 k]. Dihasilkan persm, 6 = 3 k  k = 2 ; 5/22/2018

Lanjutan. 8 = 2 (y - 2)  y = 6 z - 5 = 8  z = 13. Dengan demikian jika koordinat titik, A (1, 2, 5); B (4, 6, 9) dan C (7, 10, 13) akan se-garis. 5/22/2018

2. Penjumlahan dua vektor, (hasilnya vektor) B A A B C  A + B B + A A + B = B + A = C C2 = A2 + B2 + 2 A B cos  5/22/2018

Contoh. Diketahui dua buah vektor, besar masing-ma-sing 5 dan 8 satuan. Berapakah besar jumlah dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. C2 = 52 + 82 + 2 (5)(8) cos 30o = 25 + 64 + 80 (1/2 ) satuan = (89 + 40 ) satuan = 157,- satuan Jadi panjang (besar) vektor C = 12,- satuan 5/22/2018

Contoh. Gunakan kaidah penjumlahan vektor. Buktikan bahwa dua garis berat pada suatu segitiga ber-potongan dengan perbandingan panjang 2 : 1! Penyelesaian. AB = c A B C D F E b c AC = b b + CB = c,  CB = C - b AD = AC + ½ CB AD = b + ½ (c – b) CE = CA + AE = - b + ½ c 5/22/2018

Sambungan. AF = k AD = ½ k c + ½ k b CF = ℓ CE = ½ ℓ c - ½ ℓ b Akhirnya dihasilkan ½ k c = ½ ℓ c → k = ℓ . Diperoleh pernyataan ½ k b = (1 - ℓ) b atau → ½ k = 1 - ℓ = 1 - k Dengan demikian dihasilkan 1½ k = 1 atau k = 2/3 Sehingga AF = 2/3 AD akhirnya diperoleh FD = 1/3 AD. Sehingga terbukti jika AF : FD = 2 : 1 atau 5/22/2018

Penjumlahan Beberapa Vektor. R = A + B + C + D Penjumlahan dengan cara poligon vektor. 5/22/2018

Hukum Penjumlahaan. R = A + B = B + A Hukum komutatif 5/22/2018

Lanjutan. Hukum Asosiatif, A + (B + C) = (A + B) + C 5/22/2018

3. Pengurangan dua vektor, hasilnya vektor Pengurangan, adalah penjumlahan dengan lawan vektornya. B B + (- A) = D A A B - A   D B - A D2 = A2 + B2 + 2 A B cos  D2 = A2 + B2 - 2 A B cos  5/22/2018

Hukum Pengurangan, vektor Anti Komutatif A – B = A + (- B) = - (B – A) A B - A   D - B A - B B - A 5/22/2018

Contoh. Diketahui dua buah vektor besar masing-masing (A), 5 dan (B), 8 satuan. Berapakah besar selisih (A – B), jika kedua vektor tersebut membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. D2 = 52 + 82 - 2 (5)(8) cos 30o = 25 + 64 - 80 (1/2 ) satuan = (89 - 40 ) satuan = 20,- satuan Jadi panjang (besar) vektor D = 4,- satuan 5/22/2018

Tabel Penjumlahan Vektor Besar sudut dengan sb. sb x sb y sb z Fx Fy Fz Vektor ΣFx ΣFy ΣFz dst.

4. Dot product dua vektor, hasilnya skalar. A . B, hasilnya = besar vektor A kali vektor B dan cos sudut antara A dan B A . B = A B cos  B cos  B  A A 5/22/2018

Contoh. Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8 satuan). Hitunglah nilai A . B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. A . B = (5)(8) cos 30o = 20 satuan 5/22/2018

4. Cross product dua vektor, hasilnya vektor. A x B = C C  A dan C  B C = A B sin  A B C  B x A = - C 5/22/2018

Lanjutan. A x B didefinisikan sebagai vektor (C) dengan C te-gak lurus pada kedua vektor (A dan B) dan nilainya sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B. B sin  B A  5/22/2018

Contoh. Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8) satuan. Berapa A x B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. C A x B = C C = (5)(8) sin 30o = 20 satuan C  A dan C  B B A 5/22/2018

Sistem Koordinat Cartesian. X Y A (x, y) (y) (x) Cartesian dua dimensi Letak titik A ditentukan oleh nilai x dan y. 5/22/2018

Sistem Koordinat Cartesian. Y Z A (x, y, z) (y) (x) X (z) Cartesian tiga dimensi Letak titik A ditentukan oleh nilai x, y dan z. 5/22/2018

Vektor dan sistem Koordinat. Y Z A (x, y, z) (B j) (A i) X (C k) V Cartesian tiga dimensi 0A vektor posisi V = A i + B j + C k i, j, k vektor satuan dalam arah sumbu X+, Y+, Z+ 5/22/2018

Lanjutan. Dalam sistem koordinat letak suatu titik dapat dinyatakan sebagai vektor. Vektor yang menyatakan letak suatu titik dise-but dengan vektor letak (vektor posisi). Letak titik A, dinyatakan dengan sistem koordi-nat kartesian tiga dimensi persm-nya menjadi, A(x, y, z) R X Z x y z (0A) = R = x i + y j + z k Y 5/22/2018

0perasi vektor dengan sistem koordinat. 1. Penjumlahan. A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai C = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k 5/22/2018

Contoh. A = 5 i + 8 j + 2 k B = i + 3 j - 4 k Hitung A + B ? Penyelesaian. Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai C = (5 + 1) i + (8 + 3) j + (2 - 4) k = 6 i + 11 j - 2 k 5/22/2018

2. Pengurangan. A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai D = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k 5/22/2018

Contoh. A = 5 i + 3 j + k B = 7 i + 2 j + 4 k Hitung A – B ? Penyelesaian. Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai D = (5 - 7) i + (3 - 2) j + (1 - 4) k = - 2 i + j - 3 k 5/22/2018

3. Dot product. A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k 0perasi A . B, hasilnya skalar dan skalar tersebut dinyatakan sebagai A . B = [Ax i + Ay j + Az k] . [Bx i + By j + Bz k] = (Ax)(Bx) i . i + (Ax)(By) i . j + (Ax)(Bz) i . k + (Ay)(Bx) j . i + (Ay)(By) j . j + (Ay)(Bz) j . k + (Az)(Bx) k . i + (Az)(By) k . j + (Az)(Bz) k . k 5/22/2018

Lanjutan. i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0o = 1 i . j = i . k = j . i = j . k = k . i = k . j =(1)(1) cos 90o = 0 A . B hasilnya menjadi, = (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz) = skalar A . B = B . A 5/22/2018

Contoh. A = 5 i + 3 j + k B = 7 i + 2 j + 4 k Hitung A . B ? Penyelesaian. A . B = C, maka C dinyatakan sebagai C = (5)(7) + (3)(2) + (1)(4) = 35 + 6 + 4 = 45 5/22/2018

4. Cross product. A = Ax i + Ay j + Az k B = Bx i + By j + Bz k 0perasi A x B, hasilnya vektor dan vektor terse-but dinyatakan sebagai A x B = [Ax i + Ay j + Az k] x [Bx i + By j + Bz k] = (Ax)(Bx) i x i + (Ax)(By) i x j + (Ax)(Bz) i x k + (Ay)(Bx) j x i + (Ay)(By) j x j + (Ay)(Bz) j x k + (Az)(Bx) k x i + (Az)(By) k x j + (Az)(Bz) k x k 5/22/2018

Lanjutan. i x i = j x j = k x k = (1)(1) sin 0o = 0 i x j = - j x i = k J x k = - k x j = i k x i = - i x k = j Dengan demikian A x B menjadi, A x B = i [(Ay)(Bz) - (Az)(By)] + j [(Az)(Bx) - (Ax)(Bz)] + k [(Ax)(By) - (Ay)(Bx)] 5/22/2018

Contoh. A = 5 i + 3 j + k B = 7 i + 2 j + 4 k Hitung A x B ? Penyelesaian. A x B hasilnya menjadi A x B = i [(3)(4) - (1)(2)] + j [(1)(7) - (5)(4)] + k [(5)(2) - (3)(7)] A x B = 10 i - 13 j - 11 k 5/22/2018

Contoh. Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor yang masing-masing bentuk sebagai berikut: A = 5 i + 2 j , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 2, 3)] B = - j + 2 k , [bertitik tangkap pada koordinat (2, 2, 3)] C = - 4 i - k , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 3, 1)] Berapakah resultan vektor tersebut dan dimana letak titik tangkapnya ? 5/22/2018

Penyelesaian. V = A + B + C = (5 - 4) i + (2 – 1) j + (2 – 1) k (X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = i (Y - Z) + j (Z - X) + k (X - Y) (X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) + ( i + 3 j + k) × (- 4 i - k) (i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) = - 6 i + 15 j – 8 k (2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) = - 6 i + 3 j + 2 k 5/22/2018

Sambungan. (i + 3 j + k) × (- 4 i - k) = - 3 i - 3 j + 12 k (Y - Z) i + (Z - X) j + (X - Y) k = - 15 i + 15 j + 6 k Berlaku bentuk persm: Y - Z = - 15, Z - X = 15 dan X - Y = 6 Dihasilkan X = 3, Y = - 3 dan Z = 18. Dengan demikian titik tangkap resultan vektor ter-sebut menjadi, (3, - 3, 18) 5/22/2018

Resultan banyak vektor dalam ruang. R = V1 + V2 + .........+ Vn R = Σ Vi Jika rc letak titik tangkap resultan gaya, maka berlaku, rc x V = r1 x V1 + .............+ rn x Vn r1 ........rn koordinat letak titik tangkap masing-ma- sing gaya 5/22/2018 43

koordinat tiga dimensi Berat. Berat (w) merupakan salah satu dari bentuk resul-tan gaya-gaya sejajar [arah sama (sejajar)]. Berlaku, R x F = Σ (ri x Fi) r3 w = Σ mi g r1 r2 F1 F2 R F3 koordinat tiga dimensi F 5/22/2018

Contoh. Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor sebagai berikut A = 5 i + 2 j bertitik tangkap pada koordi-nat (1, 2, 3), B = - j + 2 k koordinat (2, 2, 3) dan C = - 4 i – k koordinat (1, 3, 1). Berapakah resul-tan vektornya dan dimana letak titik tangkapnya. Jawaban. R = A + B + C = i + j + k (x i + y j + z k) x (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) x (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) x (- j + 2 k) + (i + 3 j + k) x (- 4 i - k = - 15 i + 15 j + 8 k 5/22/2018 45

Lanjutan. Dari hasil perkalian silang trsebut diperoleh persm, y – z = - 15, z – x = 15 dan y – x = 8 Dihasilkan nilai x = - 4 , y = 4 dan z = - 19.  Koordinat titik tangkap resultan gaya terletak pada posisi (- 4, 4, - 19) 5/22/2018 46

5/22/2018