TEORI CASTIGLIANO UNTUK MENGHITUNG DEFLEKSI Gaya-gaya P1, P2, P3, ……Pn bekerja pada titik 1,2,3,…..n, maka : A B L P1 P2 P3 Pn d1 d2 d3 dn dimana :

Lenturan di titik i dapat ditulis : dimana : di = lenturan di titik I i = 1,2,3, ….n Demikian pula bila momen Mi bekerja pada suatu sistem di titik i, maka sudut lentur di titik i dapat ditulis : dimana : ji = lenturan di titik I i = 1,2,3, ….n

Rumus diatas dapat diturunkan sbb : Strain energy pada suatu sistem dimana padanya bekerja gaya-gaya P1, P2 , P3 ………Pn : Bila setiap gaya Pi diberi pertambahan gaya  pertambahan strain energy sebesar Bila penambahan gaya  menimbulkan perpidahan di, maka kerja oleh :

sehingga : Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa :

CONTOH SOAL 1) Suatu balok AB dijepit pada ujung B dan mendapat beban terpusat P dan momen Ma di titik A. Tentukan lenturan dan sudut lentur di A. L E,I Ma P A B x n m Penyelesaian : Momen bending pada penampang m-n :

Strain energy tersimpan pada balok : Lenturan di ujung A :

Sudut lentur di ujung A :

2) Tentukan : a) Lenturan di C (tengah-tengah AB) b) Sudut lentur di B q m n x L/2 RB RA C PC=0

Penyelesaian : a) Karena tidak ada beban gaya yg bekerja di titik C, supaya Rumus Castigliano untuk lenturan dapat digunakan  tambahkan gaya fiktif PC =0 di titik C . Untuk beban simetris, maka : Momen bending pada penampang potong m-n :

Strain energy yang terserap balok : Karena beban yang bekerja simetri, maka : Lenturan di titik C :

Karena beban yang bekerja PC = 0, maka :

b) Tambahkan momen bending MB = 0 di tumpuan roll B. q m n x RB RA C MB=0 Momen bending pd penampang potong m-n diperoleh dgn menentukan harga RA dan RB dgn cara  momen di tumpuan roll B = 0.

Harga RA dan RB didapat : Momen bending pada penampang potong m-n : Strain energy yang terserap balok :

Sudut lentur di tumpuan roll B : Masukkan harga MB = 0, maka :

3) Tentukan lenturan pada titik dimana gaya P bekerja. E,2I P x n m E,I Penyelesaian Strain energy yang terserap balok :

Lenturan menurut Teori Castigliano : dimana : maka :

4) Tentukan lenturan dan sudut lentur pada ujung B E,I q A B Penyelesaian : Untuk menghitung lenturan di B tambahkan gaya P = 0 pada ujung B. L E,I q A B P=0 x m n

Momen bending pd penampang potong m-n : Strain energy yang terserap balok AB: Lenturan menurut Teori Castigliano :

Karena P = 0, maka :

Untuk menghitung sudut lentur di B tambahkan momen bending MB = 0 pada ujung B. E,I q A B x m n MB Momen bending pd penampang potong m-n : Strain energy yang terserap balok AB:

Sudut lentur menurut Teori Castigliano : Karena MB = 0, maka :

5) Tentukan lenturan dan sudut lentur pada ujung B m MB A B E,I x n Momen bending pd penampang potong m-n : Strain energy yang terserap balok AB:

Sudut lentur menurut Teori Castigliano :

Menghitung lenturan di B : E,I MB A B x m n P=0 Karena pd ujung B tidak ada beban P, maka tambahkan beban P = 0 pada ujung B. Momen bending pd penampang potong m-n :

Strain energy yang terserap balok AB: Lenturan menurut Teori Castigliano :

6) Tentukan persamaan kurva lenturan balok AB bila pada ujung balok di B mendapat beban momen MB. x1 P=0 MB x2 x L y Penyelesaian Untuk menghitung lenturan pd balok AB tambahkan beban P=0 yg berjarak x dari ujung A.

Reaksi tumpuan di A dan B dapat dihitung dgn menggunakan syarat keseimbangan gaya dan momen didapat : A B x1 P=0 MB x2 x L y RA RB

Bending momen pd balok AB di sebelah kiri P : untuk 0 < x1 < x untuk 0 < x1 < x Bending momen pd balok AB di sebelah kanan P : untuk x < x2 < L untuk x < x2 < L

Dengan teori Castigliano, dimana x adalah konstan dan P = 0, maka :

7) Sebuah balok lengkung AB seperempatan lingkaran ditumpu dgn tumpuan jepit di B dan mendapat beban gaya P seperti pd gambar dibawah ini. Dengan metode Castigliano tentukan lenturan kearah y dan x di A. P A RB=P B MB=PR R q x y Penyelesaian :

Lenturan ke arah y :

Lenturan ke arah x : Tambahkan gaya Q = 0 kearah sb x . P A RB=P B R q x y Q=0

Jadi :

8) Sebuah balok lengkung AB setengah lingkaran ditumpu dgn tumpuan jepit di A dan B mendapat beban gaya P di C seperti pd gambar dibawah ini. Dengan metode Castigliano tentukan reaksi tumpuan di A dan B. P C B A R

Diagram benda bebas : P C P/2 B R q A H=?

Lenturan ke arah horisontal : Karena pada kedua tumpuan engsel tidak ada pergeseran ke arah horisontal, maka dH = 0.

9) Bila pada soal no 8 diatas ditanyakan defleksi yg terjadi pada titik C, maka tentukan defleksi pada titik C tersebut dgn menggunakan metode Castigliano. Penyelesaian : Pada separuh ring bending momen yg terjadi pada suatu titik berjarak q :

Lenturan di titik C dgn metode Castigliano :