PD LINEAR ORDE 2 Yulvi Zaika
MATERI PD LINEAR TK2 HOMOGEN PD LINEAR TK 2 NON HOMOGEN
PD linear orde 2 homogen
Sebagai contoh ilustrasi dari perilaku persamaan orde dua, kita ambil contoh kasus dimana b = 0 dan a = 1 Jika c =-1, maka kita akan menemukan solusi dari persamaan y’’ = y c =1
Persamaan karakteristik dengan akar k1 dan k2 Kasus 1: k1 k2 maka persamaan umum PD Kasus 2: k1=k2 maka persamaan umum PD Kasus 3: k1=p+qi k2=p-qi maka persamaan umum PD
Latihan 1
Latihan 2
PD LINEAR NON HOMOGEN (p, q) konstan PD tereduksi(PR); PUPL : y=yc +yp yc= fungsi komplementer (FC)= PUPR yp = integral partikular
Menentukan yp dengan metode koefisien tak tentu f(x) Yp ekx Aekx cos kx A cos kx + B sin kx sin kx Acos kx + B sin kx anxn + ...+a2x2 +a1 x+a0 Anxn + ...+A2x2 +A1x+A0 x2ekx (A2x2+A1x+A0) ekx ekx cos rx ekx (Acos rx+Bsin rx) ekx sin rx ekx (Acos rx +B sin rx) f1(x) +f2(x) yp1 + yp2 Catatan: Solusi parsial tidak boleh muncul dalam solusi homogennya. Jika ini terjadi kalikan solusi khusus dengan x atau x2 sehingga tidak memuat lagi solusi homogennya
CONTAH 1: y’’- 3y’+2y = e-x y’’-3y’+2y=0 yp = Ae-x Masukkan ke persamaan awal: PUPL
Contoh 2: y’’-3y’+2y=cosx yp =Acosx +B sinx yp’= -Asinx + B cosx ; yp’’= -Acosx – B sinx Masukan ke persamaan awal: -Acosx – B sinx – 3(-Asinx + B cosx )+2(Acosx +B sinx)=cosx (A-3B)cos x +(3A+B)sin x= cos x maka A-3B = 1 dan 3A+B=0 ; A=1/10 dan B= -3/10 Yp = 1/10 cos x- 3/10 sinx
Contoh 3: : y’’-3y’+2y=e-x +cosx
Contoh 4 :y’’-3y’+2y=ex y’(0)=-1;y(0)=1 yp = Axex Masukkan ke persamaan awal: PUPL
Latihan 1.y’’-3y’-4y=e2x 2. y’’-3y’-4y=3x2+2 3. y’’+4y=2sinx 4. y’’-4y=4sinx, y=4 , y’’=0 bila x=0
Menentukan yp dengan metoda Variasi parameter Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaan- persamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu PUPR : L1 dan L2
Aturan Cremer
Latihan Persamaan karakteristik:
Latihan