Distribusi Teoritis Peluang Diskrit Eko Setiawan, ST

Masih ingat dengan distribusi probabilitas diskrit?

Beberapa Distribusi Teoritis Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson

Percobaan Bernaoulli Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal” Jika probabilitas “sukses” adalah p maka probabilitas “gagal” adalah q = 1-p Percobaan Binomial merupakan pengembangan dari percobaan Bernaoulli yang dilakukan sebanyak n kali dan bersifat independen pada tiap-tiap percobaan

Distribusi Binomial Fungsi probabilitas dari suatu percobaan Bernaoulli yang dilakukan sebanyak n kali dikenal dengan Distribusi Binomial n = banyak percobaan x = banyak keluaran “sukses” p = nilai probabilitas keluaran “sukses” q = nilai probabilitas keluaran “gagal”

Ekspektasi & Varian Binomial Fungsi distribusi komulatif Ekspektasi (rata-rata) Varian

Contoh Suatu soal kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah pilihan jawaban. Berapa probabilitas seorang mahasiswa dapat menjawab dengan benar 3 soal?

Jawaban: Misalkan X adalah jawaban benar, N = 5, p = ¼, q = ¾

Contoh Peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit darah yang jarang terjadi adalah 0,4. Jika diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit ini, tentukan peluang: a) sekurang-kurangnya 10 orang bisa sembuh, dari 3 sampai 8 orang bisa sembuh, dan tepat 5 orang bisa sembuh.

Jawaban: Misalkan X adalah jumlah orang yang sembuh, N = 15, p = 0 Jawaban: Misalkan X adalah jumlah orang yang sembuh, N = 15, p = 0.4 dengan menggunakan tabel. (lihat buku “Probability & Statistic for Engineering” p.742 / p.751)

Percobaan Multinomial Perluasan dari Percobaan Binomial Nilai keluaran yang mungkin lebih dari dua, tidak hanya “sukses” atau “gagal” Masing-masing keluaran mempunyai probabilitas sendiri – sendiri, p1, p2, … , pn Total probabilitas keluaran adalah 1

Distribusi Multinomial Distribusi Multinomial merupakan fungsi probabilitas dari percobaan Multinomial dengan X adalah variabel acak dari keluaran yang diharapkan

Contoh Sebuah dadu dilempar 8 kali . Probabilitas muncul angka 5 dan 6 dua kali serta yang lain masing-masing satu kali adalah?

Jawaban: N=8, E1=6, E2=5, E3=4, E4=3, E5=2, E6=1 x1=2, x2=2, x3=1, x4=1, x5=1, x6=1 p1= p2= p3= p4= p5= p6= 1/6

Percobaan Hipergeometrik Pengambilan acak sample n dari populasi N tanpa dikembalikan Dalam populasi N terdapat dua klasifikasi, sejumlah k keluaran “sukses” dan N-k keluaran “gagal” Veriabel acak hipergeometrik merupakan variabel acak X yang mewakili jumlah keluaran “sukses”

Distribusi Hipergeometrik Distribusi peluang dari variabel acak hipergeometrik X, yaitu jumlah “sukses” dari sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda, yang terdiri dari k jumlah “sukses” dan N-k jumlah “gagal” adalah

Ekspektasi & Varian Hipergeometrik Ekspektasi (rata-rata) Varian

Contoh Dari suatu kotak yang berisi 40 suku cadang, 3 di antaranya rusak. Jika diambil secara acak 5 buah suku cadang, tentukan peluang sampel tersebut berisi 1 komponen rusak.

Jawaban: Dengan distribusi hipergeometrik dengan n = 5, N = 40, k = 3, dan x = 1, diperoleh

Contoh Dari 6 kontraktor jalan, 3 diantaranya telah berpengalaman lebih dari lima tahun. Jika 4 kontraktor dipanggil secara random dari 6 kontraktor tersebut, berapa probabilitas bahwa 2 kontraktor telah berpengalaman lebih dari lima tahun.

Jawaban: Dengan distribusi hipergeometrik dengan n = 4, N = 6, k = 3, dan x = 2, diperoleh:

Percobaan Poisson Percobaan yang mencacah banyaknya variabel acak X dalam setiap satuan waktu atau tempat Probabilitas X bernilai sama untuk tiap satuan dan independen Contoh Jumlah klaim asuransi mobil setiap tahun Jumlah panggilan darurat dalam setiap hari Banyak salah ketik dalam satu halaman

Distribusi Poisson Fungsi distribusi yang menyatakan banyaknya “sukses” x dalam selang waktu atau daerah tertentu (dinotasikan dengan t) dengan λt adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah, dan e = 2.71828…

Ekspektasi & Varian Poisson Ekspektasi (rata-rata) Varian

Contoh Dalam sebuah eksperimen di laboratorium nuklir , rata-rata jumlah partikel radioaktif yang melewati sebuah pencacah (counter ) adalah 4 tiap milidetik. Tentukan peluang 6 partikel akan lewat dalam selang waktu 1 milidetik.

Jawaban: Dengan menggunakan tabel distribusi poisson (lihat buku “Probability & Statistic for Engineering” p.748 / p.757), x = 6, λt = 4 maka:

Contoh Rata-rata pasien yang datang ke klinik dokter gigi pada waktu malam hari adalah 10 orang. Dokter gigi hanya mampu menerima paling banyak 15 orang setiap hari. Berapa peluang pada hari tertentu pasien terpaksa ditolak karena dokter tidak sanggup melayaninya?

Jawaban: