TRANSFORMASI LINIER KANIA EVITA DEWI

DEFINISI Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W (dituliskan ) disebut sebagai transformasi linear bila berlaku :

Operasi linier Jika V = W maka transformasi disebut operator linear pada V. Contoh:

Transformasi Matriks Transformasi dengan disebut transformasi matriks, sedangkan A disebut matriks transformasi. Contoh:

Contoh Tentukan standar matriks (matriks A) dari transformasi linier berikut.

Transformasi nol Operator Identitas Transformasi dengan disebut transformasi nol. Operator Identitas Transformasi dengan disebut operator identitas pada V.

Teorema 1 Jika T: V→ W adalah sebuah transformasi linier, maka

Kernel dan Range Diketahui transformasi linear T: V→W dengan Kernel dari T, dinotasikan ker(T), didefinisikan Range dari T, dinotasikan im(T), didefinisikan

Dimensi Jika T: V→W adalah transformasi linier Dimensi dari ker(T) disebut nulitas dari T, dinotasikan null(T). Dimensi dari im(T) disebut rank dari T, dinotasikan rk (T).

Teorema Jika adalah transformasi linier dimana A adalah matriks m x n. Maka ker(T) adalah himpunan penyelesaian dari im(T) adalah ruang kolom dari matriks A rk(T) = rk(A) rk(T) + null (T) = n

Contoh Tentukan ker(T) dan im(T)!

Matriks Transformasi Jika T: V→W adalah transformasi linier, B = {b1, b2, …, bn} adalah basis dari V dan C = {c1, c2, … cm} adalah basis dari W. Didefiniskan matriks m xn yaitu [T]B,C dengan [T]B,C = (aij) dimana j merupakan

Tentukan [T]B,C T : F3 → F2 adalah transformasi linier yang didefinisikan

Tentukan [T]B,C T : F3 → F2 adalah transformasi linier yang didefinisikan

Teorema 3 Misal T : V→W adalah transformasi linier, Jika B adalah basis V dan C adalah basis W. Maka untuk setiap v Є V

Contoh Jika U : R2 → R3 dengan Tentukan [U]B,C Jika Tentukan [U(x)]C

Matriks Transisi Definisi Keserupaan Matriks P = [I]B1,B2 disebut matriks transisi dari basis B1 ke basis B2. Definisi Keserupaan Misalkan A dan B adalah matriks m x n. Jika ada sebuah matriks P yang memiliki invers sehingga A = P B P-1, maka A serupa dengan B

Teorema 4 Jika T: V→V adalah suatu linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhinggaV , dan anggap B1 dan B2 adalah basis-basis untuk V. Maka Dimana P adalah matriks transisi dari B2 ke B1.

Contoh Jika T:R2→R2 didefinisikan oleh Tentukan matriks T yang berkenaan dengan basis standar B1 ={e1, e2} Jika , tentukan matriks T berkenaan dengan basis B2