Sebaran Binomial Trinomial dan Multinomial

Sebaran Binomial Dalam aljabar, untuk n yang merupakan bilangan bulat positif sedemikian sehingga

maka p(x) merupakan fungsi pro-babilitas untuk peubah acak diskrit X maka p(x) merupakan fungsi pro-babilitas untuk peubah acak diskrit X. Peubah acak X tersebut dengan fungsi probabilitas p(x) seperti diatas dikatakan menyebar secara binomial dengan probabilitas p. Sebaran bi-nomial dapat dinotasikan dengan sim-bol b(n , p).

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran binomial adalah

Rata-rata dan ragam (variansi) dari peubah acak X yang menyebar binomial dapat diperoleh melalui fungsi pembangkit momen dengan cara me-nurunkannya terhadap t dan selanjutnya diambil nilai t = 0. Berikut ini diberikan cara untuk mendapatkan rata-rata dan ragam x dengan menggunakan fungsi pembangkit momen

Untuk t = 0 dapat diperoleh rata-rata x = np dan ragamnya adalah 2 = M”(0)np + n(n-1)p2–(np)2=np(1-p).

Sebaran Trinomial Sebaran binomial dapat diperluas menjadi sebaran trinomial, jika n bilangan bulat positif dan a1, a2, a3 merupakan konstanta tertentu, sehingga

Fungsi probabilitas bersama untuk peubah acak X dan Y yang me-nyebar secara trinomial adalah

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran trinomial adalah

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran marginal X dan Y adalah Jika X dan Y bebas stokhastik, maka untuk X  b(n,p1) dan Y  b(n,p2) rata-rata dan ragam untuk X dan Y adalah x = np1; y = np2 2x = np1(1-p1); 2y = np2(1-p2) Berikutnya fungsi probabilitas dari Y dengan syarat diketahui bahwa X = x adalah dan

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran marginal X dan Y adalah Rata-rata bersyarat untuk Y, jika X=x adalah dan

Sebaran Multinomial Sebaran binomial dan juga trinomial dapat diperluas menjadi sebaran multinomial dengan fungsi probabilitas bersama sebagai berikut :

SEBARAN POISSON Bila peubah acak diskrit X menyebar poisson dengan parameter m, maka fungsi probabilitasnya dapat ditulis sebagai berikut Untuk menunjukkan bahwa p(x) adalah fungsi probabilitas, kita dapat menggunakan deret sebagai berikut

Fungsi pembangkit momen untuk sebaran poisson dapat ditulis sebagai berikut Rata-rata dan ragam untuk sebaran poisson dengan menggunakan fungsi pembangkit momen adalah

maka rata-rata :  = M'(0) = m dan ragamnya adalah 2 = M"(0) - 2 = m + m2 - m2 = m Jadi sebaran poisson mempunyai rata-rata  sama dengan ragamnya yaitu m>0.