03 SESI 3 MATEMATIKA BISNIS Viciwati STl MSi. Sesi 3 ini akan membahas Penerapan Deret Hiutung dan Deret Ukur pada perekonomian Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan kedua deret tersebut dalam aplikasinya di dunia ekonomi dan Bisnis Viciwati STl MSi. EKONOMI BISNIS Manajemen dan Akuntansi

Matematika Bisnis Sesi 3 PENERAPAN DERET HITUNG DAN DERET UKUR DALAM PEREKONOMIAN Matematika Bisnis Sesi 3

Tujuan Khusus Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung perasalahan-perasalahan bisnis dan ekonomi di antaranya masalah perkembangan usaha Sejauh mana pertumbuhannya yang konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangkan panjang yang tertentu.

dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu, dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu

PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI Perkembangan Usaha Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung

Contoh Soal Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ? Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?

Jawab : Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12. S12 = a + (n – 1) b = 5.000 + (12 – 1) 300 = 5.000 + (11) 300 = 5.000 + 3.300 = 8.300 Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik. Jumlah keraMik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama. D12 = n/2 (a + s12) = 12/2 (5.000 + 8.300) = 6 (13.300) = 79.800

Bunga Sederhana dan Potongan Sederhana Bunga merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang. Jika kita meminjam uang dari bank maka kita membayar bunga kepada pihak bank tersebut Jika kita menginvestasikan uang berupa tabungan atau deposito di bank maka bank membayar bunga kepada kita. Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok(principal)

Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya

Misalkan kita berinvestasi p rupiah dengan suku bunga tahunan i, maka pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah Pi Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi Pada akhir tahun kedua adalah P+P(2i) Pada akhir tahun ketiga adalah P + P(3i) Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya adalah P+P(ni) Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir tahun

Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya. Pendapatan bunga menurut metode ini dinamakan bunga sederhana dan dapat dinyatakan dengan rumus berikut: I = Pin Dengan : I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau jumlah investasi i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahun

Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n (Fn )adalah jumlah dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n Fn = P + Pin

Contoh Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun Jawab Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000 Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke-4 adalah 7.200.000

Jadi Nilai dari modal awal pada akhir periode ke 4 (F4 ) adalah Fn = P + Pin = Rp. 12.000.000 + 7.200.000 = Rp. 19.200.000

Potongan Sederhana (Simple discount)   P= Nilai Sekarang Fn = Nilai masa datang tahun ke – n I = Tingkat bunga N = jumlah tahun

Contoh  

Bunga Majemuk Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat bunga I per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi, Selanjutnya nila investasi ini pada akhir tahun pertama akan menjadi P + Pi = P (1 + i)

Sehingga hasil nilai investasi pada akhir tahun kedua adalah Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal awal pada permulaan tahun kedua dan pendapatan bunga yang diperoleh adalah P(1+i)I Sehingga hasil nilai investasi pada akhir tahun kedua adalah P(1+i) + P(1+i)I = P+Pi+Pi+Pii = P(1+2+i2) = P(1+i)2

Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 dianggap sebagai modal awal pada permulaan tahun ketiga dan pendapatan bunga yang diperoleh P(1+i)2i, Sehingga total investasi tahun ketiga adalah P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3

Demikian seterusnya sampai n sehingga rumusnya adalah Fn = P(1+i)n dimana Fn = Nilai masa datang P = Nilai sekarang i = bunga per tahun n = jumlah tahun

Contoh Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12 presen per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya Penyelesaian : Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahun n=3 Fn = P(1+i)n F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3 =Rp. 7.024.640

Contoh  

Nilai Sekarang dengan Bunga Majemuk  

Contoh  

Contoh  

Model Pertumbuhan Penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang dirumuskan Pt = P1 R t-1 Dimana : R = 1 + r P1 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t r = persentase pertumbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun)

Contoh: Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006,pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian? Jawab: Diket : P1 = 1.000.000 r = 4 % = 0,04 maka: R = 1 + r = 1 + 0,04 = 1,04

P tahun 2006  P16 Pt = P1 Rt-1 P16 = 1.000.000 (1,04)16-1 = 1.000.000 (1,04)15 = 1.000.000 1,800943 = 1.800.943 jiwa Utk 11 tahun kemudian P1 = 1.800.943 r = 2,5 % = 0,025 R = 1 + r = 1 + 0,025 = 1,025

P 11 tahun kemudian  P11 Pt = P1 Rt-1 P11 = 1.800.943 (1 + 0,025)11-1 = 1.800.943 (1,025)10 = 1.800.943 . 1,280084 = 2.305.359 Jadi jumlah penduduk 11 tahun kemudian 2.305.359 jiwa.

Contoh-contoh soal Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yangdiasumsikan konstan sebesar 11% pertahun *Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan

Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2 = 10.000.000 (1 + 0,055)10 = 10.000.000 (1,708144) = 17.081.444,58 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58.

Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 3 bulan sekali Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4 = 10.000.000 (1 + 0,0275)20 = 10.000.000 (1,720428431) = 17.204.284,31 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,31

Contoh Soal Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?

Jawab persentase pertumbuhan penduduk : Pn = P0 (1 + i)n

Latihan Soal 1 Pabrik Coklat “Silverquen” menghasilkan Sejuta bungkus coklat pada tahun pertama berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh. a.Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ?

b.Berapa produksinya pada tahun kesebelas c.Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus coklat ? Berapa bungkus coklat yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?

Latihan Soal 2 Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol.

a) Berapa botol penurunan produksinya per tahun b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.

Latihan Soal 3 Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% apabila bunga dihitung semesteran?

Latiahn Soal 4 Jika Anda menabung Rp 2.500.000 dengan bunga majemuk 8% selama tiga tahun, kemudian memindahkan tabungan tersebut ke tabungan dengan bunga majemuk tahunan 10%. Berapakah jumlah yang akan Anda terima setelah tahun ke 6.?

Latihan Soal 5 Pada ulang tahun ke-20, Trinita memperoleh hadiah uang sebesar Rp10.000.000,- sebagai hasil dari tabungan ayahnya semenjak Trinita dilahirkan. Berapa besarnya uang yang ditabungkan ayahnya pada saat dia dilahirkan, jika tingkat bunga tabungan tidak berubah yaitu 6% per tahun (dihitung bulanan)?

Latihan Soal 6 Seorang bapak menabung dalam bentuk deposito sebagai persiapan untuk warisan bagi anaknya sebesar Rp 20.000.000,- dan setelah 25 tahun uang itu diambil dengan bunga tetap 6% per tahun yang dihitung bulanan. Berapa jumlah uang bapak tersebut?

Daftar Pustaka Dumairy.1999.Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Yogyakarta, BPFE UGM Joseph Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit Salemba Empat, 2002

Viciwati, STL, MSi.