LENTURAN (DEFLECTION) Pada perencanaan balok (beam) untuk suatu konstruksi perlu diperhatikan lenturan akibat pembebanan disamping tegangan yang terjadi. Besarnya lenturan pada balok tidak boleh melebihi harga batas tertentu untuk suatu konstruksi pada keperluan tertentu. A B q x y Y = lenturan pada suatu titik berjarak x dari titik A q = sudut lentur pada titik yang berjarak x dari titik A

MENGHITUNG LENTURAN Ada beberapa metode untuk menghitung lenturan pada suatu balok, antara lain : Metode Integral Ganda (Double Integral Method) Metode Singularite (Singularity Method)  Discontinuity Functions Metode Luasan Bidang Momen (Moment Area Method) Metode Balok-Balok Kecil Metode Energi Regangan Elastis (Elastic Strain Energy Method) Metode Tiga Momen

METODE INTEGRAL GANDA (Double Integral Method) dq q O m m’ ds x y Balok AB mengalami lenturan karena momen bending M Momen bending disebabkan oleh gaya melintang (shearing force) Gambar 1. Balok AB melentur akibat beban momen

Elemen m-m’ = ds ds = r dq r = jari-jari kelengkungan balok m-m’ O = pusat kelengkungan balok m-m’ q = sudut antara garis singgung di m dengan sumbu x Harga q semakin kecil bila titik m bergeser kearah B (dari A) dan akan q = 0 di titik terendah dari lenturan  pertambahan positif ds sebanding dengan pertambahan negatif dari ds Maka : (1)

Lenturan balok pada suatu konstruksi cukup kecil, harga q dalam hal ini menjadi kecil sekali. Untuk keadaan ini dapat dianggap bahwa : (2) Dari persamaan (1 ) dan (2) : (3)

Pada elemen ds diambil daerah sejauh h dari sumbu netral (gambar 2) : O p p’ m’ m n n’ s1 s s’ r M Sumbu netral dq h Gambar 2. Elemen ds dari balok AB yang melentur

n – n’. =. sumbu netral  tegangannya nol s – s’. = n – n’ = sumbu netral  tegangannya nol s – s’ = daerah berjarak h (eta) dari sumbu netral n’ – s1 // n – s , maka panjang n – n’ = s – s1 dan s1 – s’ = pertambahan panjang pada daerah sejauh h dari sumbu netral. Dalam hal ini regangan (strain) yang terjadi : (4)

Sedangkan harga-harga : (5) Dari persamaan (5) dan (4) : (6) Dalam daerah elastis berlaku hukum HOOKE : (7)

Tegangan yang tejadi pada balok sejauh h dari sumbu netral akibat momen bending M adalah : (8) Dari persamaan (7) dan (8) : (9) Dari persamaan (9) dan (6) : (10)

Dari persamaan (3) dan (10) diperoleh : (11) Dimana : M = momen bending E = modulus elastisitas bahan Iz = Momen kelembaman luasan penampang balok terhadap sumbu z Y = lenturan X = jarak titik yang ditinjau terhadap titik awal

Bila persamaan (11) didiferensialkan terhadap x : (12) L = gaya melintang pada penampang balok Bila persamaan (12) didiferensialkan terhadap x : (13) q = beban melintang per satuan panjang pada balok

LENTURAN BALOK AKIBAT BEBAN MERATA q x y m n L By Ay Reaksi tumupuan di A dan B : Momen bending pada penampang m – n yg berjarak x dari tumpuan A : (14)

Persamaan lenturan balok (11) : (15) Integral persamaan (15 ) : (16)

q = sudut antara grs. singgung lenturan balok dgn sb. x Untuk x = ½ L  q = 0 , maka persamaan (16) menjadi :

Harga C1 masuk ke persamaan (16) : (17) Integral persamaan (17 ) : (18)

Pada ujung-ujung balok  lenturan = 0 , maka C2 dapat dihitung dgn memasukkan y = 0 untuk x = 0 pada pers (18). Didapat : C2 = 0 Persamaan (18 ) menjadi : (19) Pers (19) dapat digunakan untuk menghitung lenturan balok akibat beban merata sebagai fungsi x

Lenturan maksimum terjadi di tengah-tengah balok  dengan memasukkan harga x = L/2 pada pers (19) akan diperoleh : Sudut lentur maksimum terjadi di ujung A  dengan memasukkan harga x = 0 pada pers (16) akan diperoleh :

LENTURAN PADA CANTILEVER BEAM AKIBAT BEBAN MERATA q x q = beban per satuan panjang Momen bending pd penampang m – n yg berjarak x dari ujung bebas pada balok AB : (20)

Dari Pers (20) dan (11) : (21) Integral persamaan (21 ) : (22) Harga C1 dapat ditentukan dgn kondisi balok  sudut lentur pada jepitan = 0

Untuk x = L  dy/dx = 0, masukkan ke dalam pers (22) diperoleh : Persamaan (22 ) menjadi : (23)

Integral persamaan (23 ) : (24) Harga C2 dapat ditentukan dgn kondisi balok  lenturan pada jepitan = 0 Untuk x = L  y = 0 , masukkan ke dalam pers (24) diperoleh :

Persamaan (24 ) menjadi : Atau : (25)

PERSAMAAN GARIS ELASTISITAS UNTUK BALOK LENGKUNG Rdj B Momen potongan = B’ j R R R cosj Tanda momen : M + M - dj j P2 A A’ a = perubahan sudut P1 R (1 – sinj) x y

Pers grs elastisitas utk balok lengkung : Radj Rdj a B B’ j dj (26) Pers grs elastisitas utk balok lengkung : Radj j dy = (Radj)cosj dx = (Radj)sinj

dy = (Radj)cosj dx = (Radj)sinj

Syarat batas : y ( j = 0 ) = 0 x (j = 0 ) = 0 a (j = 0 ) = 0 didapat :

Sebagai contoh :

CONTOH SOAL ( METODE INTEGRAL GANDA) B P x y = ? y L y’ = ? Ditanyakan : Lenturan dan sudut lentur maksimum pada balok AB akibat beban P

Penyelesaian : P y = ? x y Momen bending pd jarak x dari A adalah : MA Ax Ay Momen bending pd jarak x dari A adalah : (1)

Persamaan diferensial lenturan pd balok AB : (2)

Integral persamaan (2) : (3) Syarat batas : C1 = 0 masuk ke pers (3) didapat : (4) Pers (4) merupakan persamaan sudut lentur balok AB.

Integral pers (4) : (5) Syarat batas : (6) (7) Harga C2 = 0 masuk ke pers (5), maka persamaan lenturan menjadi : (7)

Lenturan maksimum terjadi pada ujung B, maka : Sudut lentur maksimum terjadi pada ujung B, maka :

SOAL 2 : P = 50 kN y = ? L = 3m B A z y x Sebuah balok yg dijepit pada ujung A mempunyai panjang L = 3m dan mendapat beban sebesar P = 50 kN. Balok terbuat dari baja yang mempunyai momen inersia Iz = 300 x 106 mm4 terhadap sumbu netralnya dan modulus elastisitas E = 200 GN/m2. Tentukan : lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum pada balok tersebut.

Penyelesaian : Dari hasil perhitungan pada soal no. 1, didapat :

SOAL 3 : L A B yB = ? x y’B = ? y Ditanyakan : M x yB = ? y L y’B = ? Ditanyakan : Persamaan lenturan dan sudut lentur balok AB akibat beban momen bending M Lenturan dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban momen M

Penyelesaian : Reaksi tumpuan di A dan B : A B M x y = ? y L MA Ax Ay

Persamaan diferensial lenturan : (1) Integral persamaan (1) : (2)

Syarat batas : sudut lentur di jepitan A = 0: Harga C1 = 0 masuk ke persamaan (2) menjadi : (3) Integral persamaan (3) : (4)

Syarat batas : lenturan di jepitan A = 0: Harga C2 = 0 masuk ke persamaan (4) menjadi : (5)

Jadi : a) Persamaan lenturan balok AB : b) Persamaan sudut lentur balok AB :

c) Lenturan maksimum balok AB : d) Sudut lentur maksimum balok AB :

SOAL 4 : A B x yB = ? y L= 3m y’B = ? z y z Ditanyakan : M = 150 kNm x yB = ? y L= 3m y’B = ? z y 300 mm 200 mm z Penampang balok Ditanyakan : Lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban momen M = 150 kNm, bila modulus elastisitas bahan E = 200 GPa

Penyelesaian : Momen inersia luasan penampang balok thd sb x : y z 300 mm 200 mm Modulus Elastisitas bahan :

Dari hasil perhitungan soal 4 didapat : a) Lenturan maksimum balok AB : b) Sudut lentur maksimum balok AB :

SOAL 5 : A B x yB = ? y L y’B = ? q Ditanyakan : Lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban merata q

Penyelesaian : yB = ? y’B = ? x y Momen bending pd jarak x dari A : q MA Ax Ay A B x yB = ? y L y’B = ? q Momen bending pd jarak x dari A :

Pers diferensial lenturan balok AB : (1) Integral persamaan (1) : (2) Syarat batas : sudut lentur di jepitan A = 0:

Harga C1 = 0 masuk ke persamaan (2) : (3) Integral persamaan (4) : (4) Syarat batas : lenturan di jepitan A = 0:

Harga C2 = 0 masuk ke persamaan (4) : (5) Jadi :