Metode Newton-Raphson

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
Advertisements

PERSAMAAN NON LINEAR.
APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi.
PERSAMAAN NON LINEAR.
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum
akar persamaan Non Linier
SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR RUMUSAN MASALAH, METODE PENCARIAN AKAR,METODE TERTUTUP, DAN METODE TERBUKA DISUSUN OLEH : DEVI WINDA MARANTIKA ( )
Persamaan Non Linier Supriyanto, M.Si..
Metode Numerik Persamaan Non Linier.
4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER.
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR
Solusi Persamaan Nirlanjar (Bagian 2)
4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER.
4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER.
5. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER.
X’2 xo x’1 y=f(x) f(x) x xo = solusi eksak x’1, x’2 = solusi pendekatan Solusi pendekatan yang baik: Cukup dekat dengan xo, yaitu | x’-xo|0 Nilai mutlak.
BAB II : PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN
Persamaan Non Linier (lanjutan 02)
TE UB AKAR PERSAMAAN SATU VARIABEL AKAR PERSAMAAN SATU VARIABEL
PERSAMAAN non linier 3.
Optimasi Dengan Metode Newton Rhapson
Metode NEWTON-RAPHSON CREATED BY : NURAFIFAH
METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN.
Persamaan Non Linier (Lanjutan 1)
Metode numerik secara umum
Metode Numerik untuk Pencarian Akar
oleh Ir. Indrawani Sinoem, MS.
METODE TERBUKA: Metode Newton Raphson Metode Secant
PERSAMAAN NON –LINIER Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier
METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN.
PERTEMUAN 1 PENDAHULUAN
Pertemuan ke – 4 Non-Linier Equation.
AKAR PERSAMAAN Metode Pengurung.
Akar Persamaan f(x)=0 Metode AITKEN
Metode Terbuka.
X’2 xo x’1 y=f(x) f(x) x xo = solusi eksak x’1, x’2 = solusi pendekatan Solusi pendekatan yang baik: Cukup dekat dengan xo, yaitu | x’-xo|0 Nilai mutlak.
Akar-akar Persamaan Non Linier
Metode Terbuka Metode Iterasi Titik Tetap, Newton-Rapson, Secant, Kasus Khusus.
Metode Numerik Oleh: Swasti Maharani.
Solusi persamaan aljabar dan transenden
PERSAMAAN NON –LINIER Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier
SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR
Metode Numerik untuk Pencarian Akar
Teknik Komputasi Persamaan Non Linier Taufal hidayat MT.
Materi I Choirudin, M.Pd PERSAMAAN NON LINIER.
Akar Persamaan Tak Linier
Persamaan Linier Metode Regula Falsi
Regula Falsi.
Metode Newton-Raphson
Daud Bramastasurya H1C METODE NUMERIK.
SISTEM PERSAMAAN NIRLANJAR (NONLINIER)
Metode Newton-Raphson Choirudin, M.Pd
Universitas Abulyatama-2017
MATA KULIAH METODE NUMERIK NOVRI FATMOHERI
PERSAMAAN NON –LINIER Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier
PRAKTIKUM II METODE NUMERIK
Damar Prasetyo Metode Numerik I
Metode Terbuka Metode Iterasi Titik Tetap, Newton-Rapson, Secant, Kasus Khusus.
Pendahuluan Metode Numerik Secara Umum
AKAR-AKAR PERSAMAAN Muhammad Fitrullah, ST
Bab 2 AKAR – AKAR PERSAMAAN
Gunawan.ST.,MT - STMIK_BPN
METODE NUMERIK (3 SKS) STMIK CILEGON.
Persamaan non Linier Indriati., ST., MKom.
Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi
Kelebihan Metode Secant terhadap Newton-Rapshon
Materi 5 Metode Secant.
Transcript presentasi:

Metode Newton-Raphson Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan dengan metode Newton-Raphson adalah sebagai berikut : Pilih nilai awal xi sembarang Hitung xi+1 dan f (xi+1) dengan rumus : Demikian seterusnya sampai didapatkan f (xi+1) yang kecil

Contoh : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Newton Raphson Selesaikan persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Newton Raphson Penyelesaian : Persamaan yang diselesaikan : f (x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 Turunan pertama dari persamaan itu adalah : f ’(x) = 3x2 + 2 x – 3

Dengan menggunakan persamaan : Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1 = 1 ; f (x1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3 (1) – 3 = –4 f ’(x1) = f’ (1) = 3(1)2 + 2 (1) – 3 = 2

Langkah berikutnya ditetapkan x2 = 3 f (x2) = f(3) = (3)3 + (3)2 – 3 (3) – 3 = 24 f ’(x2 ) = f’(3) = 3(3)2 + 2 (3) – 3 = 30

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut ini : Jumlah iterasi xi xi+1 f(xi) f(xi+1) 1 1,0 3,0 -4,0 24,0 2 2,2 5,888 3 1,83 0,987387 4 1,73778 0,05442 5 1,73207 0,0001816

Metode Secant Kekurangan Metode Newton Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (differensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

Yang disubstitusikan dalam persamaan : Dalam metode ini pendekatan memerlukan dua nilai awal dari x

Contoh : Selesaikan persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Secant Penyelesaian : Iterasi 1 Diambil dua nilai awal x1 =1 dan x2 = 2 Untuk x1 =1 maka f(x1) = f(1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = - 4 Untuk x2 =2 maka f(x2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Dengan menggunakan persamaan :

Maka : f(x3)= (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = -1,36449 Iterasi 2 Untuk x2 =2 maka f(x2) = f(2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Untuk x3 =1,57142 maka Dengan menggunakan persamaan :

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut : Jumlah iterasi x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3) 1 1,0 2,0 1,57142 -4,0 3,0 -1,36449 2 1,70540 +3,0 -0,24784 3 1,73513 0,02920 4 1,73199 -0,000575 5 1,73205

Metode Iterasi Dalam metode iterasi ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi f(x) = 0 sehingga parameter x berada disisi kiri dari persamaan, yaitu : x= g(x) Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai x merupakan fungsi dari x, sehingga dengan memberi nilai perkiraan awal dari akar dapat dihitung perkiraan baru dengan rumus iteratif berikut :

Besar kesalahan dihitung dengan rumus berikut :

Contoh : Selesaikan persamaan : f(x) = x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dengan metode Iterasi Penyelesaian : Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : x3 = - x2 + 3 x + 3 → x = (- x2 + 3 x + 3 )1/3 Kemudian persamaan diubah menjadi : xi+1 = (- x2 + 3 x + 3 )1/3 Apabila ditentukan perkiraan awal x1 = 2 maka didapat : x2 = (- x12 + 3 x1+ 3 )1/3 = (- 22 + 3 x 2 + 3 )1/3 = 1,70998

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut : Iterasi (i) xi (%) 1 2,00000 2 1,70998 16,9607 3 1,73313 1,3362 4 1,73199 0,0658 5 1,73205 0,0034 6 0,0002 Dari tabel terlihat bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin dekat dengan akar persamaan yang benar, dengan kata lain kesalahan yang terjadi semakin kecil. Penyelesaian persamaan seperti ini disebut konvergen

Persamaaan x3 + x2 – 3 x – 3 = 0 dapat juga diubah dalam bentuk berikut : Dalam bentuk iterasi persamaan diatas menjadi : Untuk perkiraan awal x1 = 2 maka didapat : Besar kesalahan :

Dengan prosedur yang sama hitungan dilanjutkan dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut ini : Iterasi (i) xi (%) 1 2,00000 2 3,00000 33,3333 3 11,00000 72,7273 4 483,00000 97,7226 5 37637290,0 99,9987 Tampak bahwa hasil hitungan pada iterasi yang lebih tinggi semakin menjauhi nilai akar persamaan yang benar. Keadaan hitungan seperti ini disebut divergen.

SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan akar persamaan : f(x) = -0.9 x2 + 1.7 x + 2.5 = 0 Dengan menggunakan rumus akar kuadrat (rumus abc) Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [2.8,3.0] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka di belakang koma. Dengan menggunakan metode regula falsi pada interval [2.8,3.0] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

2. Tentukan akar dari persamaan : f(x) = -2 + 6.2x - 4 x2 + 0.7 x3 = 0 Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [0.4,0.6] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Regula Falsi pada interval [0.4,0.6] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

3. Tentukan akar dari persamaan : f(x) = 9.34 - 21.97x +16.3 x2+3.07 x3= 0 Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal adalah 1.00 sebanyak 5 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 2 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awalnya 0.9 dan 1.00 sebanyak 5 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 2 angka dibelakang koma.

4. Tentukan akar dari persamaan : 1 – 0.61 x f(x) = ----------------- = 0 x Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal adalah 1.50 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awalnya 1.5 dan 2.00 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

5. Tentukan akar dari persamaan : f (x) = x3 - 6 x2 + 11 x – 5.9 = 0 Dengan menggunakan metode Biseksi pada interval [2.5,3.5] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Regula Falsi pada interval [2.5,3.5] sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Newton Raphson dengan akar pendekatan awal 3.5 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma. Dengan menggunakan metode Secant dengan akar pendekatan awal 2.5 dan 3.5 sebanyak 3 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 3 angka dibelakang koma.

6.Tentukan akar dari persamaan-persamaan berikut dengan metode Iterasi, masing- masing 6 iterasi dengan ketelitian hitungan hingga 4 angka dibelakang koma: f(x) = sin x – 5x = 0, dengan akar pendekatan awal 0.1 f(x) = x2 + 4 x – 3 , dengan akar pendekatan awal 0.65