Probabilitas dan Statistika Deskriptif Ukuran Dispersi Range, Standar Deviasi Oleh: Chaerul Anwar, MTI

Objective Mahasiswa mampu menjelaskan ukuran dispersi, penggunaaan ukuran dispersi dalam statistika Mampu menggunakan bagian dari ukuran dispersi seperti : Range Deviasi Rata – rata Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil

Pendahuluan Ukuran penyebaran Ukuran penyebaran mencakup data Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data Data yang belum dikelompokan Grouped data Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi

Ukuran Dispersi Ukuran dispersi adalah ukuran variasi atau seberapa jauh nilai tersebar satu dengan lainnya dari gugus data. Aplikasi ukuran dispersi yang sering digunakan adalah standar deviasi. Ukuran dispersi biasanya digunakan bersamaan dengan tendensi sentral untuk mempelajari distribusi data.

Ukuran Dispersi Range (Jangkauan Data) – interval terkecil yang memuat semua data. Didapat dengan mencari selisih nilai maksimum dengan nilai minimum. Standar deviasi – menunjukkan seberapa jauh deviasi data pada suatu gugus dari nilai tengahnya. Varians – menunjukkan seberapa jauh penyebaran satu nilai dengan nilai yang lain pada gugus data. Kuartil & Jangkauan antar kuartil – memecahkan data menjadi empat bagian yang rata.

Ukuran Dispersi Rentang Kuartil Jangkauan Antar Kuartil Persentil Jumlah & Interval Kelompok Standar Deviasi

Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan Range – Jarak Merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel Rumusan Range Range = Nilai terbesar – nilai terkecil Perusahaan Harga Saham Sentul City 530 Tunas Baru 580 proteinprima 650 total 750 Mandiri 840 Range = 840 – 530 = 310

Rentang = data terbesar – data terkecil Merupakan ukuran dispersi yg merupakan selisih nilai maksimum dan minimum. Rentang = data terbesar – data terkecil

Deviasi Rata – rata Populasi Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya Rumusan Deviasi rata –rata ( MD) ∑|x - x| MD = N X = Nilai data pengamatan X = Rata – rata hitung N = Jumlah data

Contoh Deviasi Rata - Rata Perusahaan Indek x - X Nilai Mutlak Sentul City 7.5 1.14 Tunas Baru 8.2 1.84 proteinprima 7.8 1.44 total 4.8 -1.56 1.56 Mandiri 3.5 -2.86 2.86 Total 31.8 8.84 Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768 MD = = ∑|x - x| / n = 8.84 / 5 = 1.768

Varians dan Standar Deviasi Populasi Rata – rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata – rata hitungnya Rumus varians populasi µ = (∑ X) / N (X - µ )2  2= N X = Nilai data pengamatan µ = Nilai rata – rata hitung N = Jumlah total data

Contoh Kasus Varians (X - µ )2 17.372  2 = = = 3.4744 N 5 Perusahaan Indek X - µ (X - µ)² Sentul City 7.5 1.14 1.2996 Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856 proteinprima 7.8 1.44 2.0736 total 4.8 -1.56 2.4336 Mandiri 3.5 -2.86 8.1796 Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372 Rata - rata (µ) 6.36 s² 3.4744 (X - µ )2 17.372  2 = = = 3.4744 N 5

Standar Deviasi  =  ²  =  N Standar deviasi Rumus standar deviasi Akar kuadrat dari varians dan menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya Rumus standar deviasi (X - µ )2  =  N  =  ² atau

Contoh Kasus Standar Deviasi Nilai varians : (X - µ )2 17.372  2 = = = 3.4744 N 5 Nilai standar deviasi :  =  3.4744 = 1.864 Nilai penyimpangan sebesar 1.864

Varians dan Standar Deviasi Sampel (x - x )2 s 2= n -1 S =  s²

Contoh Kasus Sampel Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 s² = 824260 / 9 No Perusahaan Harga saham x - X (x - X)² 1 Jababeka 215 -358 128164 2 Indofarma 290 -283 80089 3 Budi Acid 310 -263 69169 4 Kimia farma 365 -208 43264 5 Sentul City 530 -43 1849 6 Tunas Baru 580 7 49 proteinprima 650 77 5929 8 total 750 177 31329 9 Mandiri 840 267 71289 10 Panin 1200 627 393129 Jumlah 5730   824260 Rata - Rata (X) 573 s² 91584.44 S 302.63 Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 s² = 824260 / 9 s² = 91584.44 Standar deviasi : S =  s² S =  91584.44 S = 302.63

Contoh Kasus Sampel Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 Standar deviasi : No Perusahaan Harga saham x - X (x - X)² 1 Jababeka 215 2 Indofarma 290 3 Budi Acid 310 4 Kimia farma 365 5 Sentul City 530 6 Tunas Baru 580 7 proteinprima 650 8 total 750 9 Mandiri 840 10 Panin 1200 Jumlah Rata - Rata (X) s²   S Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 Standar deviasi : S =  s² S =  S =

Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan Range – Jarak Merupakan selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah Rumusan Range Range = Batas atas kelas tertinggi – nilai terkecil

Contoh Range Batas atas Kelas terendah Batas atas Kelas tertinggi = 9754 – 215 = 9539

Deviasi Rata - Rata MD = n Rumus deviasi rata - rata  f. |x - x| MD = n Rata – rata hitung data dikelompokan x = ( f.x ) / n

Contoh Kasus MD = (∑f.|x - X|) / n = ..... /..... = ..... Kelas Interval Kelas f Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X| 1 16 24 10 20 2 25 33 18 29 3 34 42 14 38 4 43 51 47 5 52 60 56 6 61 69 65 Total   50 Rata - rata (X) MD = (∑f.|x - X|) / n = ..... /..... = .....

Contoh Kasus MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416 Kelas Interval Kelas f Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X| 1 16 24 10 20 200 13.68 136.8 2 25 33 18 29 522 4.68 84.24 3 34 42 14 38 532 4.32 60.48 4 43 51 47 188 13.32 53.28 5 52 60 56 112 22.32 44.64 6 61 69 65 130 31.32 62.64 Total   50 1684 89.64 442.08 Rata - rata (X) 33.68 MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416

Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan f. (x - x )2 s 2= n -1 S =  s²

Contoh Kasus Varians : Standar deviasi : s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 Kelas Interval Kelas f Titik tengah (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|² 1 16 24 10 20 200 13.68 187.1424 1871.424 2 25 33 18 29 522 4.68 21.9024 394.2432 3 34 42 14 38 532 4.32 18.6624 261.2736 4 43 51 47 188 13.32 177.4224 709.6896 5 52 60 56 112 22.32 498.1824 996.3648 6 61 69 65 130 31.32 980.9424 1961.885 Total   50 255 1684 89.64 1884.254 6194.88 Rata - rata (X) 33.68 Varians : s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = 6194.88 / 49 = 126.4261 Standar deviasi : S =  s² =  126.4261 = 11.2439

Ukuran Penyebaran Relatif Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatif Penggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang sama

Ukuran Penyebaran Relatif Koefisien range Koefisien deviasi rata-rata Koefisien deviasi standar

Koefisien Range Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif Rumusan : KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 % La : Batas atas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh Koefisien Range Kelas Interval Kelas f 1 16 24 10 2 25 33 18 3 34 42 14 4 43 51 5 52 60 6 61 69 KR : = (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / (69 + 16) = 53 / 85 = 0.6235 x 100 % = 62.35 % La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16

Koefisien Deviasi Rata - Rata Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100% MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus Data dikelompokan : Koefisien deviasi rata – rata : MD = 8.8416 X = 33.68 Koefisien deviasi rata – rata : KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 % = 0.2625 x 100 % = 26.25 %

Koefisien Standar Deviasi Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase Rumus KSD = [ s / x ] x 100 % S = Standar deviasi X = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus Data dikelompokan Standar deviasi = 11.2439 Rata – Rata hitung (x) = 33.68 Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 % = 33.38 %

Ukuran Kecondongan - Skewness Ukuran kecondongan – kemencengan Kurva tidak simetris Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan media Pendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

Koefisien Skewness Sk = [µ - Mo ] /  atau = 3.[µ - Md] /  Contoh kasus data dikelompokan µ = 33.68 Mo = 18 Md = 32  = 11.2439 Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439 Sk = 15.68 / 11.2439 Sk = 1.394 µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus Md = Nilai median  = Standar deviasi Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439 Sk = 5.04 / 11.2439 Sk = 0.4482

Ukuran Keruncingan - Kurtosis Keruncingan disebut juga ketinggian kurva Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar

Koefisien Kurtosis 1/n ∑(x - )4  4 Bentuk kurva keruncingan – kurtosis Mesokurtik 4 = 3 Leptokurtik 4 > 3 Platikurtik 4 < 3 Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan) 4 = Nilai data 1/n ∑(x - )4  4

Koefisien Kurtosis 1/n ∑ f. (X - )4 4 Koefisien kurtosis (data dikelompokan) 4 = 1/n ∑ f. (X - )4 4 Jumlah Frekuensi Nilai rata – rata hitung Standar deviasi Nilai tengah kelas

Rata – Rata Geometrik Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rate Rumus : G = n (x1 . x2 . x3 . … xn ) G = [log x1 + log x2 +… log xn] n G = Antilog (log G)

Contoh Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 % Tingkat pertumbuhan : G = [log 1.5 + log 2.3 +log 3.4 + log 1.2 + log 2.5 ] / 5 G = [ 0.176 + 0.361 + 0.531 + 0.079 + 0.397] / 5 G = 1.5464 / 5 = 0.30928 G = antilog 0.30928 = 2.03

Ukuran Penyebaran Lain Range Inter-Kuartil Jarak inter-kuartil = K3 – K1 Jika : Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam) Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam

Ukuran Penyebaran Lain Deviasi Kuartil Setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1 Rumusan Deviasi kuartil – DK DK = [ K3 – K1 ] / 2 Jika DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih mewakili keseluruhan data

Ukuran Penyebaran Lain Jarak persentil Selisih antara persentil ke 90 dengan persentil ke 10 Rumusan jarak persentil - JP JP = P90 – P10 Jika JP lebih besar Bahwa nilai deviasi lebih besar

Kuartil

Jangkauan Antar Kuartil Jangkuan Quartil Merupakan selisih antara q1 dan q3 yang merupakan jarak dari seluruh distribusi Quartil Jangkuan Quartil Qr= Q3 – Q1 Deviasi Quartil merupakan simpangan dari data dari antara Q3 dan Q1 Deviasi Kuartil Qd = ½ (Q3 – Q1)

Latihan Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data berikut. 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35 Tentukan Q1,Q3, median (Q2), range kuartil ,dan simpangan kuartil dari data berikut. 57 49 30 46 59 43 42 47 40 45 44 56

Persentil

Jumlah & Interval Kelompok Menentukan banyaknya kelompok Menentukan Interval Kelompok Data diatas memiliki 5 kelompok dengan interval 14

Koefisien Variasi Untuk membandingkan 2 kelompok dengan variabel yang sama tetapi nilai yang berbeda.

Resource Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H. 2003. Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 6. Bandung: Penerbit ITB.

Terima Kasih