Mathematics III TS 4353 Class B Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

Operator D D(x2+1) = 2x D2(x2+1) = 2 D3(x2+1) = 0 D(e3x) = 3e3x D(sin 2x) = 2 cos 2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Operator D Dy = y’ D2y = y” y” + py’ +qy = f(x) D2y + pDy + qy = f(x) (D2+pD+q)y = f(x) F(D)y = f(x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Sifat 1 Operator D F(D)eax = (D2+pD+q)eax = (a2 + pa + q) eax = F(a) eax Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 y” – 5y’ + 6y = ex (D2 – 5D + 6)y = ex yc = c1e2x + c2e3x PUPD: y = yc + yp y = yc + yp = c1e2x + c2e3x + ½ ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Sifat 2 Operator D F(D)(eax V) = (D2+pD+q)(eaxV) D(eax V) = aeax V + eax DV = eax (D+a)V D2(eax V) = D(aeax V + eax DV) = a2eax V + aeax DV + aeax DV + eax D2V = eax (D2 + 2aD + a2)V = eax (D+a)2V Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

F(D)(eax V) = (D2+pD+q)(eaxV) = eax (D+a)2V + p eax (D+a)V + q eax V = eax [(D+a)2 + (D+a)p + q ] V = eax F(D+a) V Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 2 y” – 2y’ + y = xex (D2 - 2D + 1)y = xex PR : (D2 - 2D + 1)y = 0  subs: y=ekx PK : (k2 – 2k + 1) = 0 k1 = k2 = m =1 yc= ex(c1 + c2x) PUPD: y = ex(c1 + c2x + 1/6 x3) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Sifat 3 Operator D D(cos ax) = -a sin ax D2(cos ax) = -a2 cos ax F (D2)cos ax= F (-a2)cos ax Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 3 y” – 9 y = cos 2x (D2 - 9)y = cos 2x PR : (D2 - 9)y = 0  subs: y=ekx PK : (k2 – 9) = 0 (k+3)(k-3) = 0 k1 = 3 dan k2 = -3 yc= c1 e3x+ c2 e-3x PUPD: y = c1 e3x+ c2 e-3x – 1/13 cos 2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Sifat 4 Operator D D(sin ax) = a cos ax D2(sin ax) = -a2 sin ax F (D2)sin ax= F (-a2)sin ax Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 4 y” + 9 y = sin 2x (D2 + 9)y = sin 2x PR : (D2+9)y = 0  subs: y=ekx PK : (k2 + 9) = 0 (k+3)(k-3) = 0 k1,2 = ± 3i yc= c1 cos 3x + c2 sin 3x PUPD: y = c1 cos 3x + c2 sin 3x + 1/5 sin 2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Summary Sifat-sifat Operator D Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 5 y” -2y’ + y = ex (D2 -2D + 1)y = ex PR : (D2 -2D + 1)y = 0  subs: y=ekx PK : (k2 – 2k + 1) = 0 (k-1)(k-1) = 0 k1,2 = m = 1 yc= ex (c1 + c2 x) Gagal!!! Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 5 (Lanjutan) PUPD: y = ex(c1 + c2x + 1/2 x2) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 6 y” -5y’ + 6y = sin 4x (D2 -5D + 6)y = sin 4x PR : (D2 -5D + 6)y = 0  subs: y=ekx PK : (k2 – 5k + 6) = 0 (k-2)(k-3) = 0 k1 = 2 dan k2 = 3 yc= c1 e2x + c2 e3x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 6 (Lanjutan) PUPD: y = yc + yp = c1 e2x + c2 e3x – 1/50 sin 4x + 1/25 cos 4x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 7 How??? y” -2y’ - 3y = x2 (D2 -2D - 3)y = x2 PR : (D2 -2D - 3)y = 0  subs: y=ekx PK : (k2 – 2k - 3) = 0 (k-3)(k+1) = 0 k1 = 3 dan k2 = -1 yc= c1 e3x + c2 e-x PUPD: y = yc + yp = c1e3x + c2e-x – 1/3x2 + 4/9x – 14/27 How??? Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 7 (Lanjutan) Cukup, karena Dx2 = 2x D2x2 = 2 1 D3x2 = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Linier Tingkat n dengan koefisien2 konstan Bentuk umum (anDn + an-1Dn-1 + … + a1D + a0)y = f(x) P. Reduksi: F(D)y = 0, subs y = ekx  PK: F(k) = 0 Akar-akar karakteristik: k1, k2, k3,…, kn-1, kn Jika k1 ≠ k2 ≠ k3 … ≠ kn-1 ≠ kn , maka yc = c1ek1x + c2ek2x + c3ek3x + … + cn-1ekn-1x + cneknx Jika k1 = k2 = k3 = k4 = m dan k5 ≠ k6 ≠ k7 ≠… ≠ kn , maka yc = emx(c1+ c2x + c3x2 + c4x3)+ c5ek5x +…+ cneknx Jika k1 = k2 = k3 = k4 = a+bi dan k5 = k6 = k7 = k8 = a-bi, serta k9 ≠ k10 ≠… ≠ kn maka yc = eax[(c1+ c2x + c3x2 + c4x3)cos bx +(c5+ c6x + c7x2 + c8x3)sin bx] + c9ek9x +…+ cneknx Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 y”” – y = e2x PD: (D4 – 1)y = e2x PR: (D4 – 1)y = 0  subs y = ekx PK: k4 – 1 = 0 (k2-1)(k2+1)=0 (k+1)(k-1)(k2+1)=0 k1 = -1, k2 = 1, k3,4 = ±I yc = c1e-x + c2ex + c3cosx + c4sinx Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 (Lanjutan) PUPD: y = yc + yp y = c1e-x + c2ex + c3cosx + c4sinx + 1/15e2x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

PD Serentak (Simultan) f1(D)y + g1(D)z = h1(x) f2(D)y + g2(D)z = h2(x) PD: ∆y = ∆1 dan ∆z = ∆2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 PD: Dy – z = ex y + (D+2)z = 0 Δy = Δ1  (D2 + 2D +1) y= 3ex yc = e-x(c1+c2x) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 (Lanjutan) PUPD: y = yc + yp  y = e-x (c1 + c2x) + ¾ ex Δy = Δ1  (D2 + 2D +1)z = ex zc = e-x(c3+c4x) PUPD: z = zc + zp  y = e-x (c3 + c4x) -1/4ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1

Example 1 (Lanjutan) y dan z masuk ke PD D[e-x (c1 + c2x) + ¾ ex]- [e-x (c3 + c4x) -1/4ex]=ex -e-x (c1 + c2x) + e-x c2 + ¾ ex -e-x c3 - e-x c4x + 1/4ex = ex e-x x (-c2 - c4) + e-x (-c1 + c2 - c3) = 0 -c2 - c4 = 0  c2 = - c4 -c1 + c2 - c3 = 0  c3 = -c1 + c2 PUPD: y = yc + yp  y = e-x (c1 + c2x) + ¾ ex PUPD: z = zc + zp  y = e-x ((-c1 + c2 ) – c2x) -1/4ex Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 1