Oleh : Epha Diana Supandi, M.Sc Kalkulus I Oleh : Epha Diana Supandi, M.Sc

Pokok Bahasan Sistem Bilangan Real Pertaksamaan dan Nilai Mutlak Fungsi Real Limit Fungsi Kekontinuan Fungsi Limit Tak Hingga Bentuk tak tentu Limit Fungsi Aplikasi Turunan (Masalah maksimum, minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)

Daftar Referensi Martono, K.1999. Kalkulus. Erlangga.Jakarta Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8. Erlangga. Jakarta Leithod,L. 1996. The Calculus with Analytic Geometry.Harper and Row Publisher. New York.

Sistem Penilaian UTS = 30% UAS = 30% Tugas = 20% Tugas Kelompok = 20%

Pendahuluan Untuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan, differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi real sebagai obyeknya. Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk dapat memberi ruang gerak pada berbagai operasinya Pada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang merupakan pengetahuan dasar untuk mempelajari konsep limit fungsi.

Sistem Bilangan Real Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan beserta sifat2nya. Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …} Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …} Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk rasional Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

Sistem Bilangan Bil Real Bil Rasional Bil Bulat Bil Asli

Selang {x| a < x < b} (a,b) {x| a ≤ x < b } [a, b) Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Penulisan Himpunan Selang Grafik {x| a < x < b} (a,b) {x| a ≤ x < b } [a, b) {x | a < x ≤ b } (a, b] {x| a ≤ x ≤ b } [a, b] {x | x ≤ b } (-∞, b] {x | x < b } (-∞, b) {x | a ≤ x } [a, +∞) {x | a < x } (a, +∞) a b a b a b a b b b a a

Pertaksamaan Bentuk Umum Pertaksamaan : Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan yang benar)

Prosedure Baku menyelesaikan pertaksamaan adalah : Ubahlah bentuk menjadi : dengan P dan Q adalah suku banyak Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis bilangan Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang

Nilai Mutlak Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai berikut :

Sifat-sifat Nilai Mutlak Untuk setiap bilangan real x berlaku |x|  0 |x| = |- x| - |x| ≤ x ≤ |x| |x|2 = |x2| = x2 Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku : |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2 |x – y | = |y – x |

Sifat-sifat Nilai Mutlak Jika a  0, maka |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ a |x|  a ↔ x  a atau x ≤ - a ↔ x2  a2 Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku : |x + y| ≤ |x| + |y| |x – y| ≤ |x| + |y| |x| - |y| ≤ |x – y | | |x| - |y| | ≤ |x – y |

Sifat – sifat nilai mutlak Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku: |xy| = |x| |y| |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0

FUNGSI Definisi Fungsi f adalah suatu aturan korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Jenis – jenis Fungsi Fungsi linier Fungsi kuadrat Fungsi trigonometri Fungsi eksponential Fungsi logaritma

Fungsi linier Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb: y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0 contoh : y = 4x + 3 a1 disebut gradien atau koefisien kemiringan

Fungsi kuadrat Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk rumusnya adalh: y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0 Contoh : y = x2 – 4x + 3

Fungsi Eksponential Persamaan umum fungsi eksponen : y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1

Fungsi Logaritma Fungsi ligaritma didefinisikan dengan persamaan : y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1 Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari fungsi eksponen.

Operasi Fungsi Jumlah dan Selisih Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka : (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f – g) (x) = f(x) – g(x) catatan : Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah asal f dan g

Operasi Fungsi Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal, maka (f • g) (x) = f(x) • g(x) (f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0 Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.

Komposisi Fungsi Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutan artinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah setelah fungsi yang pertama bekerja. Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (g◦f) Jadi (g◦f) (x) = g (f(x)) dan (f ◦ g) (x) = f(g(x))