Pewarnaan Graf Muhammad Rafi Muttaqin, S.Kom., M.Kom. Jurusan Teknik Informatika STT Wastukancana Purwakarta

Pewarnaan Graf Pewarnaan graf adalah pemberian warna terhadap vertex- vertex graf dimana 2 buah vertex yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama. G berwarna n artinya graf tersebut menggunakan n warna. Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum warna yang dibutuhkan.

Pewarnaan Graf Ada dua macam: pewarnaan vertex, dan pewarnaan sisi Hanya dibahas perwarnaan vertex Pewarnaan vertex: memberi warna pada vertex-vertex graf sedemikian sehingga dua vertex bertetangga mempunyai warna berbeda.

Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta. Peta terdiri atas sejumlah wilayah. Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara. Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.

Nyatakan wilayah sebagai vertex, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi. Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai vertex pada graf yang berkoresponden. Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda  warna setiap vertex harus berbeda.

(b) Peta dan graf yang merepresentasikannya, Gambar 8.72 (a) Peta (b) Peta dan graf yang merepresentasikannya, (c) Graf yang merepresentasikan peta, (d) Pewarnaan vertex, setiap vertex mempunai warna berbeda, (e) Empat warna sudah cukup untuk mewarnai 8 vertex

Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta. Simbol: (G). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan (G) = k. Graf di bawah ini memiliki (G) = 3

Graf kosong Nn memiliki (G) = 1, karena semua vertex tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua vertex cukup dibutuhkan satu warna saja.

Graf lengkap Kn memiliki (G) = n sebab semua vertex saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.

Graf bipartit Km,n mempunyai (G) = 2, satu untuk vertex-vertex di himpunan V1 dan satu lagi untuk vertex-vertex di V2.

Graf lingkaran dengan n ganjil memiliki (G) = 3, sedangkan jika n genap maka (G) = 2. Sembarang pohon T memiliki (T) = 2. Untuk graf-graf yang lain tidak dapat dinyatakan secara umum bilangan kromatiknya.

Perkembangan teorema pewarnaan graf: TEOREMA 1. Bilangan kromatik graf planar  6. TEOREMA 2. Bilangan kromatik graf planar  5. TEOREMA 3. Bilangan kromatik graf planar  4. Teorema 4 berhasil menjawab persoalan 4-warna (yang diajuka pada abad 19): dapatkah sembarang graf planar diwarnai hanya dengan 4 warna saja? Jawaban dari persoalan ini ditemukan oleh Appel dan Haken yang menggunakan komputer untuk menganalisis hampir 2000 graf yang melibatkan jutaan kasus

Cukup 4 warna saja untuk mewarnai sembarang peta

ALGORITMA WELCH-POWELL Kita dapat menggunakan Algoritma Welch-Powell untuk mewarnai suatu Graf, dengan banyak warna minimal sebagi berikut : Urutkan semua vertex berdasarkan derajatnya, dari derajat besar ke derajat kecil. Ambil warna pertama (misal merah), warnai vertex pertama (misal A) yang sudah kita urutkan berdasarkan derajatnya tadi. Kemudian warnai vertex yang tidak berdampingan (tidak adjacent) dengan vertex A dan tidak berdampingan (tidak adjacent) dengan vertex yang berwarna merah, dengan warna yang sama, yaitu merah. Kemudian kita lanjutkan dengan warna kedua, dan seterusnya, sampai semua vertex telah diberi warna.

Contoh Urutkan vertex berdasarkan derajatnya dari besar ke kecil : vertex berderajat terbesar adalah E, yaitu 5 (mempunyai 5 ruas) kemudian vertex C berderajat 4, B,D,F masing-masing berderajat 3 dan A,H,G masing-masing berderajat 2. Jadi Urutannya adalah : E,C,B,D,F,A,H,G

Ambil warna pertama, misalnya Merah Ambil warna pertama, misalnya Merah. Beri warna Merah vertex E (karena E adalah vertex urutan pertama).Kemudian cari vertex yang tidak berdampingan dengan vertex E, beri warna yang sama (merah)

Sehingga didapat urutan vertex yang belum diberi warna sbb : C,B,D,F,H Ambil warna kedua, misalnya Biru, warnai vertex C ( karena vertex C sekarang ada diurutan pertama). Kemudian cari vertex yang tidak berdampingan dengan vertex C, beri warna yang sama (Biru).

Sehingga didapat urutan vertex yang belum diberi warna sbb : B,F,H Kita berikan warna yang sama pada simpul D dengan warna pada simpul C karena simpul D tidak berdampingan dengan simpul C. Meskipun simpul H tidak berdampingan dengan C, namun tidak boleh diberi warna Biru karena simpul H berdampingan dengan simpul D yang sudah diberi warna Biru. Sehingga didapat urutan vertex yang belum diberi warna sbb : B,F,H

Ambil warna ketiga, misalnya Hijau, warnai vertex B,F, dan H. Pewarnaan telah selesai, Graf merupakan Graf berwarna 3. Jadi K(G) = 3.

Latihan

Jawaban K(G)=4 d(A)=5 A d(B)=3 F d(C)=3 D d(D)=4 G d(E)=2 H d(F)=5 B d(H)=4 A F D G H B C E K(G)=4 Warna MERAH untuk vertex A dan G Warna BIRU untuk vertex F dan D Warna HIJAU untuk vertex H,B,E Warna KUNING untuk vertex C

K(G)=4 d(a)=4 a d(b)=4 b d(c)=4 c d(d)=4 d d(e)=3 f d(f)=4 e d(g)=3 g Warna MERAH untuk vertex A dan D Warna BIRU untuk vertex B dan C Warna HIJAU untuk vertex E dan F Warna KUNING untuk vertex G

K(G)=4 d(A)=3 I d(B)=4 D d(C)=3 H d(D)=5 B d(E)=4 E d(F)=4 F d(G)=4 G d(H)=5 d(I)=6 I D H B E F G A C K(G)=4 Warna MERAH untuk vertex I, F dan C Warna BIRU untuk vertex D dan H Warna HIJAU untuk vertex B dan E Warna KUNING untuk vertex G dan A

K(G)=3 K(G)=4 d(v1)=5 d(v2)=3 d(v3)=3 d(v4)=4 d(v5)=4 d(v6)=4 d(v7)=3 Warna MERAH untuk vertex v1 dan v7 Warna BIRU untuk vertex v4 dan v2 Warna HIJAU untuk vertex v5 dan v6 Warna KUNING untuk vertex v3 Warna MERAH untuk vertex v1dan v6 Warna BIRU untuk vertex v2 dan v3 Warna HIJAU untuk vertex v4 dan v5

K(G)=2 K(G)=3 d(v1)=3 d(v2)=3 d(v3)=3 d(v4)=3 d(v5)=3 d(v6)=3 V1 V2 V3 Warna MERAH untuk vertex v1 , v4, v5 Warna BIRU untuk vertex v2, v3, v6 Warna MERAH untuk vertex v1 , v4 Warna BIRU untuk vertex v2 dan v5 Warna HIJAU untuk vertex v6 dan v3