Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013 Ekonometrika Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Model – Model Regresi Spasial Model dasar seperti pada regresi linier, di mana indeks cross section menjadi indeks lokasi Data cross section menjad data spasial. Umumnya pada data spasial asumsi klasik seperti homokedastisitas dan non – autokorelasi tidak lagi terpenuhi. Y: vektor berukuran n × 1 dari variabel respons ke i, i = 1, 2, …, n untuk n lokasi X: matriks berukuran n × (p + 1) dari p variabel prediktor (termasuk konstanta intersep) untuk unit lokasi ke i, i = 1, 2, …, n β: vektor (p + 1) × 1 dari parameter model (termasuk intersep) u: vektor n × 1 dari galat untuk unit lokasi ke i, i = 1, 2, …, n

Digunakan model spasial umum Adanya asumsi mengenai pengaruh lokasi  fenomena di suatu lokasi dipengaruhi oleh fenomena di lokasi sekelilingnya Digunakan model spasial umum Model – model spasial spesifik bersarang di dalamnya Melibatkan tiga pengaruh spasial/interaksi spasial Interaksi antar variabel respons Interaksi antar variabel penjelas Interaksi antar galat

Interaksi spasial antar variabel respons Hadir dalam suku WY di dalam model Variabel respons pada suatu lokasi dipengaruhi oleh nilai variabel respons di lokasi – lokasi sekitarnya. Contoh: Produktifitas suatu wilayah dipengaruhi oleh produktifitas wilayah – wilayah di sekitarnya Nilai lahan di lokasi tertentu dipengaruhi oleh nilai lahan di lokasi – lokasi tetangganya Proses ini terjadi karena pelaku ekonomi mengambil keputusan secara simultan berdasarkan keputusan pelaku – pelaku di lokasi – lokasi tetangganya.

Interaksi spasial antar variabel penjelas Hadir dalam suku WX Variabel respons di suatu lokasi dipengaruhi oleh variabel penjelas dari lokasi – lokasi tetangganya. Contoh: Produktifitas di suatu wilayah dipengaruhi oleh arus informasi dan teknologi dari wilayah sekelilingnya, dan indikator bagi informasi/teknologi tersebut termuat dalam X Nilai lahan di suatu lokasi dipengaruhi oleh keberadaan atau kenyamaan fasilitas umum di lokasi sekelilingnya. Indikator bagi kenyamanan/keberadaan fasilitas umum terukur dan termuat dalam X

Interaksi spasial antar galat Hadir dalam suku Wu Terdapat variabel penjelas yang tidak terukur dalam model, akan tetapi keberadaannya di lokasi tetangga mempengaruhi variabel respons. Permasalahan ini terjadi akibat terbatasnya informasi sehingga tidak semua variabel prediktor yang mempunyai interaksi spasial dapat dilibatkan di dalam model. Contoh: Produktifitas di suatu wilayah dipengaruhi oleh arus teknologi dari wilayah sekelilingnya, akan tetapi tidak ada indikator bagi informasi/teknologi yang termuat dalam X  terakumulasi di u Nilai lahan di suatu lokasi dipengaruhi oleh kenyamaan fasilitas umum di lokasi sekelilingnya. Akan tetap indikator bagi kenyamanan fasilitas umum tidak terukur dan tidak termuat dalam X  terakumulasi di u

Model penuh – General Nesting Spasial (GNS) Di mana W : matriks pembobot spasial berukuran n × n θ : vektor (p + 1) × n dari parameter model yang mengukur pengaruh perubahan variabel prediktor X di lokasi tetangga terhadap variabel respons Y. v : vektor n × 1 dari galat untuk unit spasial ke i, i = 1, 2, …, n dengan asumsi klasik (saling bebas, dan berdistribusi normal secara identik). λ :adalah koefisien autogresif spasial dan ρ adalah koefisien autokorelasi spasial. Ketidakberartian setiap parameter model dapat mendefinisikan model – model khusus yang bersarang di dalamnya.

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada GNS Xj j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i Xi Yi Yj uj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi j tetangga lokasi i Perubahan X di lokasi j memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi j di lokasi j tetangga lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi i Perubahan variabel tak terukur u di lokasi j memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi j di lokasi j tetangga lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi i

SAC (Spatial Autoregressive Confused) Model Ketika parameter WX (spatial lagged of X) pada model penuh tidak signifikan: θ = 0 Interaksi spasial ada pada variabel respons dan suku galat Model dapat dimodifikasi sbb:

Model digunakan ketika variabel respons (Yi) di suatu lokasi dipengaruhi oleh: Variabel respons di lokasi sekelilingnya (Yj, j adalah indeks bagi lokasi tetangga) Variabel - variabel penjelas di lokasi yang sama (Xi) Diasumsikan masih ada variabel penjelas yang berinteraksi spasial, tetapi tidak dilibatkan dalam model  terakumulasi pada galat Galat berinteraksi spasial

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada SAC Xi Yi Yj j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i uj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi j tetangga lokasi i Perubahan variabel tak terukur u di lokasi j memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi j di lokasi j tetangga lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi i

SDM (Spatial Durbin Model) Ketika parameter Wu (spatial lagged of error) pada model penuh tidak signifikan: ρ = 0 Interaksi spasial ada pada variabel respons dan variabel prediktor Model dapat dimodifikasi menjadi:

Model digunakan ketika variabel respons (Yi) di suatu lokasi dipengaruhi oleh: Variabel respons di lokasi sekelilingnya (Yj, j adalah indeks bagi lokasi tetangga) Variabel - variabel penjelas di lokasi yang sama (Xi) Variabel – variabel penjelas di lokasi tetangga (Xj , j adalah indeks bagi lokasi tetangga) Diasumsikan tidak ada lagi variabel penjelas yang berinteraksi spasial, yang belum dilibatkan dalam model Galat tidak berinteraksi spasial

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada SDM Xi j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i Yi Yj Xj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi j tetangga lokasi i Perubahan X di lokasi j memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi j di lokasi j tetangga lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi i

SDEM (Spatial Durbin Error Model) Ketika parameter WY (spatial lagged of Y) pada model penuh tidak signifikan: λ =0 Interaksi spasial ada pada variabel X dan suku galat Model dapat dimodifikasi menjadi:

Model digunakan ketika variabel respons (Yi) di suatu lokasi dipengaruhi oleh: Variabel - variabel penjelas di lokasi yang sama (Xi) Variabel – variabel penjelas di lokasi tetangga (Xj , j adalah indeks bagi lokasi tetangga) Diasumsikan masih ada variabel penjelas yang berinteraksi spasial, yang belum dilibatkan dalam model Galat berinteraksi spasial

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada SDEM Xi Xj j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i Yi uj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i Perubahan X di lokasi j memberikan efek tidak langsung terhadap Y di lokasi i Perubahan variabel tak terukur u di lokasi j memberikan efek tidak langsung terhadap Y di lokasi i

SAR (Spatial Autoregressive) Ketika parameter WX dan Wu pada model penuh tidak signifikan: θ = ρ = 0 Interaksi spasial ada pada variabel Y Model dapat dimodifikasi menjadi:

Model digunakan ketika variabel respons (Yi) di suatu lokasi dipengaruhi oleh: Variabel respons di lokasi sekelilingnya (Yj, j adalah indeks bagi lokasi tetangga) Variabel - variabel penjelas di lokasi yang sama (Xi) Diasumsikan tidak ada lagi variabel penjelas yang berinteraksi spasial, yang belum dilibatkan dalam model Galat tidak berinteraksi spasial

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada SAR j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i Xi Yi Yj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i maupun secara tidak langsung terhadap Y di lokasi j tetangga lokasi i

SLX (Spatial Lag of X) Ketika parameter WY dan Wu pada model penuh tidak signifikan: λ = ρ = 0 Interaksi spasial ada pada variabel X

Model digunakan ketika variabel respons (Yi) di suatu lokasi dipengaruhi oleh: Variabel - variabel penjelas di lokasi yang sama (Xi) Variabel – variabel penjelas di lokasi tetangga (Xj , j adalah indeks bagi lokasi tetangga) Diasumsikan tidak ada lagi variabel penjelas yang berinteraksi spasial, yang belum dilibatkan dalam model Galat tidak berinteraksi spasial

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada SLX Xi j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i Yi Xj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i Perubahan X di lokasi j memberikan efek tidak langsung terhadap Y di lokasi i

SEM (Spatial Error Model) Ketika parameter WY dan WX pada model penuh tidak signifikan: λ = θ = 0 Interaksi spasial ada pada suku galat Model dapat dimodifikasi:

Model digunakan ketika variabel respons (Yi) di suatu lokasi dipengaruhi oleh: Variabel - variabel penjelas di lokasi yang sama (Xi) Diasumsikan terdapat variabel penjelas yang berinteraksi spasial, yang belum dilibatkan dalam model Galat berinteraksi spasial

Pengaruh Langsung dan Tidak Langsung Pada SEM Xi j adalah lokasi – lokasi yang bertetangga dengan lokasi i Yi uj Perubahan X di lokasi i memberikan efek langsung terhadap Y di lokasi i Perubahan u di lokasi j memberikan efek tidak langsung terhadap Y di lokasi I

Diagram Hubungan antar Model GNS SAC SDEM SDM θ = 0 λ =0 ρ = 0 θ =ρ = 0 λ = ρ = 0 θ = λ = 0 SAR SLX SEM

Motivasi Pemilihan Model dalam contoh Kasus Congestion Effect Contoh: Diamati waktu tempuh dari masing – masing distrik (Yi, i = 1, …, 7) yang diasumsikan berada pada satu jalur menuju pusat kota (CBD) Waktu tempuh diasumsikan dipengaruhi oleh jarak dan kepadatan penduduk (proxy dari # pengguna jalan) R1 R2 R3 R4 (CBD) R5 R6 R7 Y4 Y1 Y7 Y2 Y6 Y3 Y5

Terdapat kemiripan waktu tempuh bagi distrik yang berjarak sama dari pusat kota  autokorelasi spasial Waktu tempuh di R1 mirip dengan waktu tempuh di R7. Waktu tempuh di R2 mirip dengan waktu tempuh di R6. Waktu tempuh di R3 mirip dengan waktu tempuh di R5. Jarak setiap distrik mempengaruhi waktu tempuh (X1i  Yi , i = 1, …, 7) Kepadatan pengguna jalan di suatu distrik juga mempengaruhi waktu tempuh dari distrik tersebut ke pusat kota (X2i  Yi , i = 1, …, 7) Akan tetapi apabila di suatu distrik yang dilewati terjadi kemacetan (mis R2), maka waktu tempuh untuk distrik yang lebih jauh (R1) juga akan bertambah

Y3  Y2  Y1 Y7  Y6  Y5 Dengan kata lain Xi mempengaruhi Yi akan tetapi Yi menjelaskanYj untuk distrik –distrik j, dengan distrik i berada di antara mereka dan pusat kota Xi  Yi  Yj Dengan motivasi tersebut digunakan model SAR.

Omitted Variable Contoh: Memodelkan harga rumah di suatu lokasi (Yi , i = 1, …, n) berdasarkan faktor – faktor yang mempengaruhinya (Xi , i = 1, …, n) – hedonic price model Akan tetapi terdapat variabel lain seperti kualitas sekolah, keberadaan fasilitas umum dll yang tidak terukur di dalam X. Padahal keberadaan variabel tersebut tidak hanya menentukan harga rumah di lokasi yang sama akan tetapi juga di lokasi sekelilingnya

ui  Yi padahal ui  Yj untuk lokasi – lokasi j di sekeliling i Sehingga seolah – olah Yi  Yj untuk lokasi – lokasi j di sekeliling i Dengan motivasi tersebut digunakan model SAR

Jika keberadaan variabel tak terukur (mis: kualitas sekolah, keberadaan fasilitas umum dll) juga menunjukkan kemiripan antar lokasi maka unsur juga galat berinteraksi spasial Dengan motivasi tersebut dapat digunakan model SAC

Jika variabel tak terukur u dengan pola spasial tersebut berkorelasi dengan X yang sudah ada di dalam model, maka Sehingga terdapat struktur sebab akibat di dalam SDM, dan dapat digunakan model tsb: ui Xi Yi Yj uj Xj

Time Dependence Contoh: Harga jual rumah di suatu lokasi (Yit) dipengaruhi oleh harga jual di lokasi tetangga pada periode waktu sebelumnya (Yj,t-1) Harga jual di lokasi tersebut juga dipengaruhi oleh karakteristik rumah dan karakteristik lokasi yang sama (Xi) Karakter tersebut diasumsikan tidak banyak berubah seiring waktu

Adalah struktur sebab akibat pada SAR Xi,t-1= Xit= Xit Yi,t-1 Yjt Adalah struktur sebab akibat pada SAR Model SAR dapat digunakan pada permasalahan tersebut

Externality Contoh: Pada fungsi produktifitas, produktifitas tergantung dari modal/teknologi dan banyaknya tenaga kerja Dengan mudahnya arus informasi teknologi di suatu wilayah akan mudah diadaptasi oleh wilayah terdekatnya Sehingga produktifitas di suatu lokasi tidak hanya dipengaruhi oleh teknologi di lokasi tersebut tetapi juga oleh teknologi dari lokasi – lokasi terdekatnya

Sehingga dapat digunakan model tersebut Struktur SLX: Sehingga dapat digunakan model tersebut Xi Yi Xj