BAB 2...RUANG VEKTOR www.themegallery.com

www.themegallery.com 1. FIELD Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + ( penjumlahan ) dan * ( perkalian ). Akan dikatakan Field jika dipenuhi : A1. untuk setiap ,  K maka  +  K dan  *   K, dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. A. untuk setiap ,,  K maka (+ ) +  =+ ( + ) A3 Terdapat 0  K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 +  =  + 0 =  , untuk setiap  K Company Logo

A5. untuk setiap , K maka  +  =  +  www.themegallery.com A4.Untuk masing-masing  K , terdapat -  K disebut negatip dari  sedemikian sehingga (- ) +  =  +(- )=0 A5. untuk setiap , K maka  +  =  +  A6. untuk setiap ,,  K maka (*)* =* ( * ) A7. untuk setiap ,,  K *(  +  )=* + * (  +  )*  = * + * Company Logo

www.themegallery.com A8. untuk setiap , K maka  *  =  *  A9.Terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1*  =  *1 =  , untuk setiap  K A10. Untuk masing-masing 0 K , terdapat -1 K disebut invers dari  sedemikian sehingga -1 *  =  *-1=1 Elemen elemen field disebut skalar Company Logo

www.themegallery.com Contoh Bilangan Kompleks Bil.imaginer bil. Riil Bil. Rasional Bil.Irrasional Bil. Bulat Bil Pecahan Company Logo

www.themegallery.com Dijelaskan 10 Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional. Company Logo

RUANG VEKTOR DI ATAS FIELD www.themegallery.com RUANG VEKTOR DI ATAS FIELD Misal { V , + , * } , V adalah himpunan vektor dan didefinisikan operasi + ( penjumlahan ) antar elemen elemen V dan * (perkalian ) antara elemen V dengan K . Maka V disebut Ruang Vektor di atas suatu Field K jika dipenuhi syarat berikut : B1. untuk setiap u,v  V dan   K maka u + v  V,  u  V dikatakan Ktertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian Company Logo

B2. untuk setiap u,v ,w  V maka (u + v) + w = u + (v + w ) www.themegallery.com B2. untuk setiap u,v ,w  V maka (u + v) + w = u + (v + w ) B3. untuk setiap u,v  V dan   K maka  *(u + v)=*u + *v B4. Terdapat 0  V disebut vektor nol, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u , untuk setiap u  V B5. Untuk masing-masing u V , terdapat - u V disebut sedemikian sehingga (- u) + u = u +(- u) = 0 Company Logo

B6. untuk setiap u,v  V maka u + v = v + u www.themegallery.com B6. untuk setiap u,v  V maka u + v = v + u B7. untuk setiap u  V , , K berlaku ( +  ) *u =( * u) +(* u) B8. dan (  ) *u =  (* u) B9. untuk setiap u  V berlaku 1* u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K Anggota dari Ruang Vektor disebut vektor Company Logo

www.themegallery.com CONTOH V adalah himpunan vektor R2 Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor terhadap operasi operasi : 1. [a,b] + [c,d] = [a+d, b+c] [a,b] = [a, ab] 2. [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d] [a,b] = [a, b] 3. [a,b] + [c,d] = [0,0] [a,b] = [ a,ab] Company Logo

RUANG VEKTOR BAGIAN (SUBSPCE) www.themegallery.com RUANG VEKTOR BAGIAN (SUBSPCE) V adalah Ruang Vektor , W adalah Subset dari V. Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian V, cukup diperiksa berikut : C1. W   ( W tidak hampa ) , untuk itu perlu ditunjukkan bahwa vektor 0 W. C2. Untuk setiap a, b W maka a + b W C3. Untuk setiap a  W ,   K maka  a  W Company Logo

X0Z = ([x,0,Z]/ x  R, Z  R} Y0Z = ([0,y,z]/ Y  R, y  R} www.themegallery.com Z X0Z = ([x,0,Z]/ x  R, Z  R} Y0Z = ([0,y,z]/ Y  R, y  R} X X0Y = ([x,y,0]/ x  R, y  R} Y Company Logo

CONTOH Tetapkan apakah W merupakan ruang vektor bagian dari R3 www.themegallery.com CONTOH Tetapkan apakah W merupakan ruang vektor bagian dari R3 W = ([a,b,c] / a = 2b) W= ([a,b,c] / a ≤ b ≤ c) W = ([a,b,c]/ a= c 2 ) Company Logo

Vektor yang Bebas dan Bergantung Linier Definisi www.themegallery.com Vektor yang Bebas dan Bergantung Linier Definisi Himpunan m buah vektor { u1, u2 , …..um} disebut bergantung linier ( linearly dependent, tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar 1, 2 , …..m yang tidak semua nol sedemikian sehingga 1 u1 + 2 u2 +….. + um m = 0 ( 0 = vektor nol ). Company Logo

u  0 akan bergantung linier karena  u =0=0 www.themegallery.com Dalam hal lain himpunan { u1, u2 , …..um} disebut bebas Linier (linearly independent ), dengan perkataan lain apabila 1 u1 + 2 u2 +….. + um m = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = ….=m=0. Jika m= 1 maka himpunan hanya mempunyai satu anggota maka  u = 0 akan bergantung linier karena  0 =00 u  0 akan bergantung linier karena  u =0=0 Company Logo

www.themegallery.com Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya { u1, u2 , …,0,..,um} maka himpunan tersebut bergantung linier karena 1 u1 + 2 u2 +….. + i 0 +... + um m = 0, i  0 Bila u dan v dua vektor yang berkelipatan u =  v maka kedua vektor tersebut bergantung linier . Jika sebagian ( himpunan bagian ) dari m vektor-vektor { u1, u2 , …..um} bergantung linier maka keseluruhannya m vektor tersebut bergantung linier . Company Logo

Tapi tidak berlaku sebaliknya. www.themegallery.com Contoh : 1). a = [ 1,2,3 ] , b = [ 2,4,6 ], c = [1,3,4 ] 2). a = [ 1,2,3 ] , b = [ 0,0,0 ], c = [ 1,3,4 ] Jika himpunan m vektor-vektor { u1, u2 , …..um} bebas linier maka himpunan bagiannya juga bebas. Tapi tidak berlaku sebaliknya. Company Logo

www.themegallery.com Company Logo