KESEBANGUNAN dan KEKONGRUENAN KAPITA SELEKTA II Luvy S. Zanthy

Kesebangunan Kasus 1 Amatilah pasangan bangun-bangun berikut ini! Manakah pasangan bangun yang bentuknya berbeda? Jelaskan. Manakah pasangan bangun yang bentuknya sama tetapi ukurannya berbeda? Jelaskan

Adapun perbandingan lebarnya adalah 2 : 4 = 1 : 2. Kasus 2 Sebangunkah persegipanjang ABCD dengan persegipanjang EFGH? Pada persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH, perbandingan panjangnya adalah 4 :8 = 1 : 2. Adapun perbandingan lebarnya adalah 2 : 4 = 1 : 2. E F G H 8 cm 4 cm A B C D 4 cm 2 cm

Dengan demikian, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : Kemudian, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH. Oleh karena keduanya berbentuk persegipanjang, setiap sudut besarnya 90° sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Artinya kedua persegipanjang tersebut memiliki sisi-sisi yang bersesuaian dan sebanding sedangkan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Oleh karena itu, persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH dikatakan sebangun.

Jadi, dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang senilai. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar.

Kekongruenan Dua buah bangun datar kongruen jika keduanya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Kesamaan ukuran tersebut dapat dinyatakan dengan: (i) setiap pasang sisi seletak sama panjang, dan (ii) setiap pasang sudut seletak sama besar. Dari keterangan di atas dapat dipahami, bahwa jika dua bangun kongruen, maka dengan mentransformasikannya (menggeser, memutar, atau merncerminkan), bangun yang satu dapat ”menempati” bangun lainnya.

Kesebangunan pada Segitiga Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Pada kedua segitiga tersebut perbandingan sisi-sisinya yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut yang bersesuaiannya. Apakah sama besar ? 6 cm 8 cm 10 cm 5 cm 4cm 3 cm

bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama? Pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama? 40° 90° 50°

Pasangan segitiga tersebut memiliki 2 sisi bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. 2,5 cm 75° 37,5 cm 2 cm 3 cm

Dua Segitiga Siku-siku Sebangun Perhatikan  ABC berikut !  ABC siku-siku di B. Jika BD adalah garis tinggi  ABC, coba diskusikan dan jelaskan tahap demi tahap bagaimana menentukan rumus panjang garis tinggi BD dengan menggunakan dua segitiga sebangun?

Menentukan rumus panjang garis tinggi pada segitiga siku-siku. Diketahui :  ABC siku-siku di B. BD adalah garis tinggi  ABC. Ditanya : Panjang BD Jawab : Pada gambar animasi di samping , tampak bahwa : 5. Akibatnya berlaku : AD DB BD DC BD2 = AD x DC atau BD =  AD x DC  ADB =  BDC  DBA =  DCB dan  BAD =  CBD Berdasarkan syarat dua segitiga sebangun terbukti bahwa  ADB sebangun dengan  BDC

Diketahui :  ABC siku-siku di B. BD adalah garis tinggi  ABC. Ditanya : panjang AB Jawab : Pada gambar animasi di samping , tampak bahwa : 5. Akibatnya berlaku : AB AC AD AB AB2 = AD x AC atau AB =  AD x AC  ABC =  ADB  BCA =  DBA dan  CAB =  BAD Berdasarkan syarat dua segitiga sebangun terbukti bahwa  ABC sebangun dengan  ADB

Dengan cara yang sama seperti 2 contoh soal sebelumnya, Tentukanlah Panjang BC! Kesimpulan: Pada segitiga siku-siku, jika dari sudut siku-sikunya ditarik garis tegak lurus pada sisi hipotenusanya, maka berlaku: B A C D B A C D B A C D BD2 = DA x DC atau BD =  AD x DC BA2 = AD x AC atau BA =  AD x AC BC2 = CD x CA atau BC =  CD x CA

Syarat-Syarat Kesebangunan pada Segitiga Unsur- unsur yang diketahui pada Segitiga Syarat Kesebangunan Sisi-sisi-sisi (s, s,s) Sudut-sudut-sudut (sd, sd, sd) Sisi-sudut-sisi (s, sd, s) Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar.

Kekongruenan Pada Segitiga Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan segitiga PQR. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan: (i) AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR. (ii) A = P, B = Q, dan C = R. Oleh karena itu, ABC kongruen dengan PQR. Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut KLM. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur ABC. Dari hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut. (iii) AB ≠ KL, BC ≠ LM, dan AC ≠ KM. (iv) A = K, B = L, dan C = M.

Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa BC tidak kongruen dengan KLM. Akan tetapi, Dengan demikian, ABC sebangun dengan KLM.

Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen.

Jadi, ABC kongruen dengan PQR. Dua Segitiga Kongruen a. Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (s.s.s) Amati Gambar 1 di samping, AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua segitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan A = P; B = Q; C = R. Dengan demikian, ABC dan PQR memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Gambar 1 Jadi, ABC kongruen dengan PQR.

Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang (s. s Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen. b. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar (s.sd.s) Amati Gambar 2. di bawah ini.! DE = KL, D = K, dan DF = KM. Ukurlah panjang EF dan LM, besar E dan L, serta besar F dan M. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan EF = LM, E = L, dan F = M. Dengan demikian, pada DEF dan KLM berlaku (i) DE = KL, EF = LM, DF = KM; (ii) D = K, E = L, F = M.

Gambar 2. Hal ini menunjukkan bahwa DEF dan KLM memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka kedua segitiga itu kongruen.

c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama Panjang (sd.s.sd) Amati Gambar 3. G = X, H = Y, dan GH = XY. Ukurlah besar I dan Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan I = Z, GI = XZ, dan HI = YZ. Dengan demikian, pada GHI dan XYZ berlaku : (i) G = X, H = Y, dan I = Z; (ii) GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa GHI dan XYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen.

Gambar 3. Hal ini menunjukkan bahwa GHI dan XYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen.

d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang (sd.sd.s) Amati Gambar 4. A = X, B = Y, dan BC = YZ. Ukurlah besar C dan Z, panjang AB dan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan C = Z, AB = XY, dan AC = XZ. Dengan demikian, pada ABC dan XYZ berlaku : (i) A = X, B = Y, dan C = Z; (ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa ABC dan XYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen.

Gambar 4. Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang (sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Contoh Soal : Sebuah pohon pada siang hari yang cerah mempunyai bayang-bayang sepanjang 12 m. Pada saat yang sama, sebuah pensil sepanjang 15 cm yang diletakkan tegak bayang-bayangnya sepanjang 9 cm. Berapa tinggi pohon? Jawab : Situasinya dapat digambarkan dan disederhanakan sebagai berikut: Pensil: AB = 15 mm BC = 9 mm B = 90° Pohon: KM = ...? MT = 12 m M = 90°

Δ ABC yang menggambarkan situasi terkait pensil dan bayang-bayangnya dan ΔKMT yang menggambarkan situasi terkait pohon dan bayang-bayangnya, adalah dua segitiga sebangun. Jadi tinggi pohon 20 m.