SISTEM KOORDINAT SILINDER Titik  dinyatakan dengan 3 buah koordinat ,  dan z  P(, , z) Sistem Koordinat Silinder

Sistem Koordinat Silinder Transformasi sistem koordinat Sistem Koordinat Silinder

Sistem Koordinat Silinder Contoh Soal 1.3 : Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak dari A ke B. Jawab : Untuk menentukan jarak dari A ke B atau RAB , titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian. Sistem Koordinat Silinder

Sistem Koordinat Silinder x =  cos  = 4 cos (–50o) = 2,571 y  sin  = 4 sin (–50o) = - 3,064 z z = 2 RAB = 0,571 ax – 6,064 ay + 3 az Sistem Koordinat Silinder

Sistem Koordinat Silinder Vektor  dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan a, a dan az A = A a + A a + Az az Vektor satuan a dan a tergantung pada posisinya di dalam ruang Sistem Koordinat Silinder

Sistem Koordinat Silinder Transformasi vektor Silinder  Kartesian a a Az ax . cos  - sin  ay . sin  az . 1 Sistem Koordinat Silinder

Sistem Koordinat Silinder Contoh Soal 1.4 : Nyatakan vektor R = 4 ax – 2 ay - 4 az dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5). Jawab : Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk menghitung sudut  di titik A, yaitu : Sistem Koordinat Silinder

a a az ax . cos  = 0,555 - sin  = - 0,832 ay . sin  = 0,832 az . 1 R = 4 (0,555 a - 0,832 a) – 2 (0,832 a + 0,555 a) – 4 az = 0,556 a - 4,438 a - 4 az

 = konstan (permukaan silinder) Bidang  = konstan (permukaan silinder)  = konstan (bidang datar melewati sumbu-z) z = konstan (bidang datar tegak lurus sumbu-z)

Sistem Koordinat Silinder Elemen Luas (vektor)   d dz a  d d a   d d az Elemen Volume (skalar)  d d dz Sistem Koordinat Silinder

SISTEM KOORDINAT BOLA Titik  dinyatakan dengan tiga koordinat r,  dan   P(r, , )

Transformasi sistem koordinat Sistem Koordinat Bola

Contoh Soal 1.5 : Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola. Jawab : B(1, 3, 4)  x = 1 y = 3 z = 4 Sistem Koordinat Bola

r = 5,099  = 38,3o  = 71,6o  B(5,009; 38,3o; 71,6o) Sistem Koordinat Bola

Vektor  dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ar, a dan a A = Ar ar + A a + A a Vektor satuan ar, a dan a tergantung pada posisinya di dalam ruang

a = cos  cos  ax + cos  sin  ay - sin  az Transformasi vektor Bola  Kartesian ar a a ax . sin  cos  cos  cos  - sin  ay . sin  sin  cos  sin  cos  az . cos  - sin  Horisontal : ax = cos  a - sin  a + 0 az Vertikal : a = cos  cos  ax + cos  sin  ay - sin  az Sistem Koordinat Bola

Contoh Soal 1.6 : Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B. Jawab : B(1, 3, 4)   = 38,3o  = 71, 6o Sistem Koordinat Bola

ar a a ax . sin  cos  sin 38,3o cos 71,6o (0,620)(0,316) = 0,196 cos  cos  cos 38,3o cos 71,6o (0,785)(0,316) = 0,248 - sin  - sin 71,6o - 0,949 ay . sin  sin  sin 38,3o sin 71,6o (0,620)(0,949) = 0,588 cos  sin  cos 38,3o sin 71,6o (0,785)(0,949) = 0,745 cos  cos 71,6o 0,316 az . cos  cos 38,3o 0,785 - sin  - sin 38,3o - 0,620

RAB = [(1 - 2)] ax + [3 - (-1)] ay + [4 - (- 3)] az = - ax + 4 ax + 7 az = [-0,196 + 4(0,588) + 7(0,785)] ar + [-0,248 + 4(0,745) + 7(- 0,620)] a + [-(- 0,949) + 4(0,316) + 7(0)] a = 7,651 ar – 1,608 a + 2,213 a Sistem Koordinat Bola

Bidang r = konstan (kulit bola)  = konstan (selubung kerucut)  = konstan (bidang datar melewati sumbu-z)

Elemen Luas (vektor)  r2 sin  dd ar  r sin  drd a  r drd a Elemen Volume (skalar) r2 sin  dr d d

OPERASI VEKTOR Divergensi vektor Operasi Vektor

OPERASI VEKTOR Gradien skalar Operasi Vektor

OPERASI VEKTOR Pusaran vektor Operasi Vektor