CONTOH APLIKASI LINEAR PROGRAMMING DALAM MANAJEMEN Distribusi dan Penjadwalan

Beberapa Aplikasi LP Product mix problems Staff scheduling Routing Cutting of bulk raw materials stock Networks Distribution PERT/CPM Double entry bookkeeping Multicommodity networks flows Fleet routing and assignment Multiperiod planning problems

Distribusi Ada sejumlah pusat produksi (Pi) yang masing-masing menghasilkan produk sejumlah tertentu (Xi) Ada sejumlah gudang (Wj) dengan kapasitas masing-masing (Yj) yang akan disupply dari Pi. Ada sejumlah pelanggan (Ck) dengan permintaan masing-masing (Zk) yang akan dipenuhi oleh Wj. Persoalan: Bagaimana mendistribusikan Xi dari Pi untuk mensupply Yj di Wj agar memenuhi kebutuhan Zk setiap Ck dengan biaya yang minimum.

Contoh Kasus 1 X A 2 Y B 3 Z 4 Pabrik Gudang Pelanggan 5 -3 7 9 -5 6 8 5 7 6 -3 -5 -4

Model Solusi Tujuan distribusi ini adalah meminimumkan biaya dan memenuhi permintaan: Min z = AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7 X2 + 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4

Model Solusi Kendala-kendala yang dihadapi: Jumlah yang dikirimkan dari sumber harus sama dengan jumlah yang diterima tujuan: AX + AY = 9 BX + BY + BZ = 8 -AX – BX + X1 + X2 = 0 -AY – BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0 -BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0 Jumlah yang diterima tujuan (gudang) harus cukup (sama) dengan jumlah yang dibutuhkan pelanggan: -X1 – Y1 = -3 -X2 – Y2 – Z2 = -5 -Y3 – Z3 = -4 -Z4 = -5

MIN AX + 2 AY + 3 BX + BY + 2 BZ + 5 X1 + 7 X2 + 9 Y1 + 6 Y2 + 7 Y3 + 8 Z2 + 7 Z3 + 4 Z4 SUBJECT TO 2) AX + AY = 9 3) BX + BY + BZ = 8 4) - AX - BX + X1 + X2 = 0 5) - AY - BY + Y1 + Y2 + Y3 = 0 6) - BZ + Z2 + Z3 + Z4 = 0 7) - X1 - Y1 = - 3 8) - X2 - Y2 - Z2 = - 5 9) - Y3 - Z3 = - 4 10) - Z4 = - 5 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST AX 3.000000 0.000000 AY 6.000000 0.000000 BX 0.000000 3.000000 BY 3.000000 0.000000 BZ 5.000000 0.000000 X1 3.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 Y1 0.000000 5.000000 Y2 5.000000 0.000000 Y3 4.000000 0.000000 Z2 0.000000 3.000000 Z3 0.000000 1.000000 Z4 5.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -1.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 1.000000 6) 0.000000 2.000000 7) 0.000000 5.000000 8) 0.000000 7.000000 9) 0.000000 8.000000 10) 0.000000 6.000000

Hasil Solusi 1 X A 2 Y B 3 Z 4 Pabrik Gudang Pelanggan -3 9 6 -5 -4 8 5 -3 -5 -4

Penjadwalan Pada suatu Gerbang Toll, diperlukan sejumlah petugas toll dengan komposisi sebagai berikut: Periode Jam Jumlah Petugas 24:00 – 06:00 2 06:00 – 10:00 8 10:00 – 12:00 4 12:00 – 16:00 3 16:00 – 18:00 6 18:00 – 22:00 5 22:00 – 24:00 3 Setiap petugas bekerja 4 jam, kemudian istirahat 1 jam, dan bekerja lagi 4 jam kedua. Setiap petugas dapat mulai bekerja kapan saja. Dengan asumsi ingin meminimumkan jumlah petugas yang disewa, formulasikan model LP kasus tersebut.

Formulasi Model Definisikan variabel: X1 : Jumlah petugas yang mulai bekerja pukul 24:00 X2 : Jumlah petugas yang mulai bekerja pukul 01:00 … X24 : Jumlah petugas yang mulai bekerja pukul 23:00 Fungsi tujuan yang meminimumkan jumlah petugas yang disewa adalah: Min z = X1 + X2 + X3 + … + X24

Formulasi Model … Fungsi kendala: X1 + X24 + X23 + X22 + X20 + X19 + X18 + X17 > 2 (24 – 1) X2 + X1 + X24 + X23 + X21 + X20 + X19 + X18 > 2 (1 – 2) X3 + X2 + X1 + X24 + X22 + X21 + X20 + X19 > 2 (2 – 3) … X7 + X6 + X5 + X4 + X2 + X1 + X24 + X23 > 8 (6 – 7) X24 + X23 + X22 + X21 + X19 + X18 + X17 + X16 > 3 (23 -24)

Solusi Model Jika model tersebut dikerjakan dengan menggunakan LINDO, maka diperoleh jawaban sebagai berikut: X2 = 5 X5 = 0.75 X11 = 1 X16 = 1 X3 = 0.75 X6 = 0.75 X14 = 1 X17 = 1 X4 = 0.75 X7 = 0.75 X15 = 2 X18 = 1 Jawaban yang dihasilkan tidak langsung dapat digunakan, karena bersifat pecahan. Set X3 = X4 = X6 = X7 = 1, dan X5 = 0, akan menghasilkan solusi integer dengan z = 16.

Masalah Blending atau Mixing Sangat lazim dihadapi oleh banyak manajer produksi: bagaimana komposisi dua atau beberapa bahan baku (ingredients) untuk menghasilkan satu atau beberapa produk. Manajemen harus memutuskan berapa banyak setiap ingredient harus dibeli (purchase) agar memenuhi spesifikasi produk dan demand dengan biaya yang minimum.

Contoh Kasus Blending PT. Beauty Suds, Inc produsen Wonderful Hair Shampoo sedang mempertimbangkan produk Wonderful Plus Hair Shampoo. Bahan-bahan yang diperlukan adalah: standard shampoo base product, a new dandruff preventive, a perfume, dan de-ionized water. Formula dan karakteristik dan bahan-bahan produk baru tersebut adalah sebagai berikut:

Formula Shampoo Minimum Maksimum Suds forming ingredients, grams 100 150 Dandruff ingredients, grams 50 Perfume ingredients, grams 20 30 Shampoo viscosity, centipoise 400 600 Biaya dan karakteristik dari keempat bahan baku adalah sebagai berikut: Shampoo base Dandruff Preventive Perfume Deionized Water Suds ingr, g/gal 150 Dandruff ingr, g/gal 10 500 Perfume ingr, g/gal 15 200 Viscosity, centipoise 700 600 400 5 Cost per gallon $3 $15 $60 $0.25

Formulasi Model Definisikan: Formulasi Model: X1 : gallons standard shampoo base per gallon produk. X2 : gallons dandruff preventive per gallon produk. X3 : gallons perfume per gallon produk. X4 : gallons deionozed water per gallon produk Formulasi Model: Min 3X1 + 15 X2 + 60X3 + 0.25X4 Subject to 150X1 < 150 150X1 > 100 10X1 + 500X2 = 50 15X1 + 200X3 < 30 15X1 + 200X3 > 20 700X1 + 600X2 + 400X3 + 5X4 > 400 700X1 + 600X2 + 400X3 + 5X4 < 600 X1 + X2 + X3 + X4 = 1

Solusi LINDO