M-03 SISTEM KOORDINAT kartesius dan kutub Ayundyah. K Kalkulus I M-03

Koordinat Cartesius

Rumus Jarak Misalkan ada 2 titik P dan Q, masing-masing dengan koordinat (x1,y1) dan (x2,y2) , maka jarak antara P dan Q adalah : 𝑑 𝑃,𝑄 = ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) 2 + ( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) 2 Contoh : Carilah jarak antara P(2,4) dan B(-1,6) y x P(x1,y1) Q(x2,y2) R(x2,y1)

Persamaan Lingkaran Andaikan (x,y) menyatakan titik sebarang pada lingkaran, menurut rumus jarak : 𝑟= 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 𝑟 2 = 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 Persamaan di atas merupakan persamaan baku sebuah lingkaran dengan pusat (a,b)

Persamaan Lingkaran Contoh : Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 4 dan pusat (2,-1). Carilah juga koordinat x dari dua titik pada lingkaran tersebut dengan koordinat y adalah 3. Persamaan lingkaran : 𝑥−2 2 + 𝑦+1 2 =16 Nilai x = 2

Persamaan Lingkaran Carilah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan yg diberikan : 𝑥 2 +2𝑥+10+ 𝑦 2 −6𝑦−10=0 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑦=16 4 𝑥 2 +16𝑥+ 105 16 +4 𝑦 2 +3𝑦=0 𝑥 2 + 𝑦 2 −10𝑥+10𝑦=0

Garis Lurus Bentuk umum persamaan garis lurus 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, atau 𝑦= 𝑚𝑥+𝑑 dengan 𝑚=− 𝑎 𝑏 dan d=− 𝑐 𝑏 , dengan a dan b tidak semuanya nol. Besaran m disebut gradien garis yang menyatakan kemiringan garis. Dari bentuk umum tersebut didapatkan : Bila garis sejajar sumbu y, persamaannya x = a Bila garis sejajar sumbu x, persamaannya y = b Bila garis tidak sejajar dalah satu sumbu, persamaannya y = mx+c Bila garis melalui (0,0), persamaannya ax+by = 0 Bila garis melalui (x1,y1) dan bergradien m, persamaannya y-y1= m(x-x1) Bila garis melalui (x1,y1) dan (x2,y2) persamaanya 𝑦−𝑦1 𝑦2−𝑦1 = 𝑥−𝑥1 𝑥2−𝑥1

Garis Lurus Misalkan terdapat dua garis 𝑘:𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 dan garis 𝑙:𝑝𝑥+𝑞𝑦+𝑟=0, maka k dan l sejajar (𝑘∥𝑙), jika 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 ≠ 𝑐 𝑟 dan berimpit 𝑘≡𝑙 , jika 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 = 𝑐 𝑟 k dan l berpotongan, jika 𝑎 𝑝 ≠ 𝑏 𝑞 dan berpotongan tegak lurus, jika 𝑎 𝑝 =− 𝑏 𝑞

Jarak titik ke garis Jarak titik A(x0,y0) ke garis dengan persamaan k : ax + by + c = 0, adalah : 𝑑 𝐴,𝑘 = 𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 Contoh : 1. Tentukanlah jarak dari titik (4,-1) terhadap garis 2x-2y+4=0

Grafik Persamaan Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinat – koordinat (x,y)-nya memenuhi persamaan, yakni membuat suatu kesamaan yg benar.

Prosedur Penggambaran Grafik Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persmaan Langkah 2 : Plotlah titik – titik tersebut pada bidang Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus

Grafik Contoh : Gambarkanlah grafik persamaan 𝑦= 𝑥 2 +2

Sistem Koordinat Kutub Setiap titip P adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memencar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan 𝜃 adalah sudut antara sinar dan sumbu kutub , maka (𝑟,𝜃) dinamakan sepasang koordinat kutub (polar). o 𝑃(𝑟,𝜃) x

Hubungan antara Koordinat Kutub dengan Koordinat Kartesius Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif pada sistem koordinat kartesius, maka koordinat kutub (𝑟,𝜃) sebuah titip P dan koordinat kartesius (x,y) titik itu dihubungkan oleh persamaan: 𝑥=𝑟 cos 𝜃,𝑦=𝑟 sin 𝜃 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 tan 𝜃= 𝑦 𝑥 , sin 𝜃= 𝑦 𝑟 cos 𝜃= 𝑥 𝑟 𝜃 P(x,y)=(r, 𝜃) x y

Contoh : Tentukan koordinat kartesius dari 𝑃 5, 𝜋 6 dan tentukan koordinat kutub dari 𝑄(3, 3 ). Tentukan persamaan kutub dari x-4y+2=0 Tentukan persamaan kartesius dari r=4 cos 𝜃

Soal kelas C Tentukan koordinat kutub dari persamaan lingkaran berikut : 𝑥 2 + 𝑦−3 2 =9 𝑦 2 −4𝑥=0 𝑥 2 + 𝑦 2 =16 𝑥 2 + 𝑦 2 2 =8𝑥𝑦 Tentukan koordinat kartesius dari persamaan kutub di bawah ini 𝑟 2 =4 𝑟 cos 𝜃 𝑟= 4 2 cos 𝜃− sin 𝜃 𝑟 2 −8 𝑟 cos 𝜃−4 𝑟 sin 𝜃 +11=0 𝑟 2 cos 2𝜃=9

Soal Kelas D Tentukan koordinat kutub dari persamaan lingkaran berikut : 𝑥 2 + 𝑦 2 =16 2𝑥𝑦=1 𝑥 2 − 𝑦 2 =9 𝑥 2 + 𝑦 2 2 =8𝑥𝑦 Tentukan koordinat kartesius dari persamaan kutub di bawah ini 𝑟 2 cos 2𝜃=9 𝑟 2 =4 𝑟 cos 𝜃 𝑟= 1 1+2 sin 𝜃 𝑟 2 −4𝑟 cos 𝜃−12=0