Materi I Choirudin, M.Pd PERSAMAAN NON LINIER

Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Pendahuluan Cara penyelesaian persoalan matematika ada dua, yakni Secara Analitik Secara Numeriik Secara Analitik dengan menggunakan rumus yang sudah baku di dalam matematika Contoh: x2 – 6x + 8 = 0 carilah akar-akarnya dengan metode analitik menggunakan faktor (x – 2)(x – 4) = 0 maka akar-akarnya adalah x1 = 2 dan x2 = 4

Pendahuluan Tapi bagaimana ketika ada persamaan seperti ini dan diminta mencari akar-akarnya : x4 – 3x + 8 = 0 atau x + ex = 0 Dari permasalahan ini kemudian perlu adanya metode numerik menggunakan pendekatan (approximation) untuk menyelesaikannya.

Metode Analitik Metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Metode analitik: metode yang dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution), solusi yang memiliki galat/error = 0. Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas.

Metode Numerik Metode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan/aritmatika biasa. Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya/solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, Ada selisih diantara keduanya yang disebut galat/error. Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan di dunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik.

Prinsip Metode Numerik Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi/lelaran yaitu pengulangan proses perhitungan.

Galat (Kesalahan) Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak.

Galat Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian : Galat Mutlak Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan. Kesalahan = Nilai eksak – Nilai perkiraan Contoh : x = 3,141592 dan x*=3,14, maka galat mutlaknya adalah, E = 3,141592 – 3,14 = 0,001592

Galat Galat relatif e dari a Sehingga galat relatifnya adalah Prosentase Galat: Prosentase galat adalah 100 kali galat relatif  e * 100%

Persamaan Non Linier Penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Tertutup Mencari akar pada range [a, b] tertentu Dalam range [a, b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen  disebut juga metode konvergen. Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen

Persamaan Non Linier Metode Tertutup Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Terbuka Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant.

Theorema Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0 Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut: Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x = [a,b] terdapat akar. Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x = [a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.

Metode Tabel Metode Tabel atau pembagian area. Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : x f(x) x0 = a f(a) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) …… xn= b f(b)

Metode Tabel Definisikan f(x) Tentukan range yang merupakan batas bawah dan batas atas. Tentukan pembagian jumlah iterasi (N). Bila f(xk) = 0 maka xk adalah penyelesaiannya. Bila f(xk) f(xk+1) < 0 maka adalah penyelesaiannya dengan nilai yang paling mendekati 0 atau galat yang ditentukan.

Contoh 1 Selesaikan persamaan : x f(x) 1 -1,00000 2 1,1 -0,32844 3 1,2 0,78598 4 1,3 2,52681 5 1,4 5,12954 6 1,5 8,89063 7 1,6 14,17722 8 1,7 21,43757 9 1,8 31,21222 10 1,9 44,14588 11 61,00000 Selesaikan persamaan : x6 – x – 1 = 0 dengan range x = [1, 2] dan galat 0,001. Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [1, 2] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :

Dari tabel diperoleh penyelesaian berada di antara 1,1 dan 1,2 dengan nilai f(x) masing-masing -0,32844 dan 0,78598, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x = 1,1 dan 1,2. Bila pada range x = [1,1 ; 1,2] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x sebagai berikut.

Dari tabel diperoleh penyelesaian berada di antara 1,13 dan 1,14 dengan nilai f(x) masing-masing -0,04805 dan 0,05497, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x = 1,13 dan 1,14. Bila pada range x = [1,13 ; 1,14] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x sebagai berikut. N x f(x) 1 1,1 -0,32844 2 1,11 -0,23959 3 1,12 -0,14618 4 1,13 -0,04805 5 1,14 0,05497 6 1,15 0,16306 7 1,16 0,27640 8 1,17 0,39516 9 1,18 0,51955 10 1,19 0,64976 11 1,2 0,78598

Maka hampiran akar persamaannya adalah 1,135 x f(x) 1 1,130 -0,04805 2 1,131 -0,03797 3 1,132 -0,02784 4 1,133 -0,01766 5 1,134 -0,00744 6 1,135 0,00284 7 1,136 0,01317 8 1,137 0,02354 9 1,138 0,03397 10 1,139 0,04445 11 1,140 0,05497 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol, dengan galat 0,001 yakni pada iterasi (N) ke-6 dengan nilai x = 1,135 dengan f(x) = 0,00284 Maka hampiran akar persamaannya adalah 1,135

Contoh 2 Selesaikan persamaan : x+ex = 0 f(x) 1 -1,0 -0,63212 2 -0,9 -0,49343 3 -0,8 -0,35067 4 -0,7 -0,20341 5 -0,6 -0,05119 6 -0,5 0,10653 7 -0,4 0,27032 8 -0,3 0,44082 9 -0,2 0,61873 10 -0,1 0,80484 11 0,0 1,00000 Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [-1, 0] dan galat 0,001 Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [-1, 0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :

Dari tabel diperoleh penyelesaian berada di antara –0,6 dan –0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x = –0,6 yakni -0,0512. Bila pada range x = [–0,6 ;–0,5] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x sebagai berikut.

Maka hampiran akar persamaannya adalah -0,57 x f(x) 1 -0,6 -0,05119 2 -0,59 -0,03567 3 -0,58 -0,02010 4 -0,57 -0,00447 5 -0,56 0,01121 6 -0,55 0,02695 7 -0,54 0,04275 8 -0,53 0,05860 9 -0,52 0,07452 10 -0,51 0,09050 11 -0,5 0,10653 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol, dengan galat 0,001 pada x yaknipada iterasi (N) ke-4 dengan nilai x = -0,57 dengan f(x) = 0,00447 Maka hampiran akar persamaannya adalah -0,57

Kelemahan Metode Tabel Metode tabel ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.

Latihan Selesaikan persamaan x3 + 6x – 3 = 0 dengan range x = [0, 1] dan galat 0,001 Temukan akar f(x) = ex – 5x2 = 0 pada selang x = [0, 1] dan galat 0,001

Terima Kasih