Asumsi Non Autokorelasi galat

Model regresi linier klasik mengasumsikan bahwa autokorelasi tidak terdapat dalam galat yang dilambangkan dengan: Cov(εi, εj) = E((εi, εj) = 0 ; i ≠ j

Mengapa muncul autokorelasi Inersia (kelembaman) Data deretan waktu ekonomi seringkali menunjukkan pola siklus Bias Spesifikasi : terdapat variabel yang tidak dimasukkan dalam model Misalkan kita memiliki model 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1𝑡 + 𝛽 2 𝑋 2𝑡 + 𝛽 3 𝑋 3𝑡 + 𝜀 𝑡 Tetapi kita melakukan regresi berikut: 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1𝑡 + 𝛽 2 𝑋 2𝑡 + 𝑣 𝑡

Jika model pertama adalah model yang benar, maka melakukan regresi kedua sama halnya dengan memisalkan 𝑣 𝑡 = 𝛽 3 𝑋 3𝑡 + 𝜀 𝑡 Jika X3 memang mempengaruhi Y maka pada 𝑣 𝑡 akan terdapat pola yang sistematis yang menimbulkan autokorelasi

Bias spesifikasi : bentuk fungsional yang tidak benar

Fenomena Cobweb Penawaran pada banyak komoditi pertanian bereaksi terhadap harga dengan keterlambatan satu periode waktu karena keputusan penawaran memerlukan waktu untuk penawarannya. Sehingga penawaran tahun ini dipengaruhi harga tahun lalu Akibatnya error tidak acak atau memiliki pola

Keterlambatan atau lag Beberapa variabel ekonomi misalnya konsumsi dalam periode ini dipengaruhi konsumsi periode yang lalu. Sehingga unsur kesalahan atau error akan mencerminkan pola yang sistematis “Manipulasi” data Misalnya merubah data bulanan menjadi data kwartalan dengan cara menjumlahkan data 3 bulan dan membaginya dengan 3. proses ini akan mengakibatkan pola sistematis dalam error

Konsekuensi Autokorelasi Jika terdapat autokorelasi , maka penduga OLS akan memiliki sifat – sifat berikut: Tidak bias Konsisten Tidak efisien Akibat sifat 3 maka Selang kepercayaan menjadi lebar Pengujian t dan F tidak sah, sehingga kesimpulan yg diambil bisa menyesatkan

Untuk model dengan satu variabel penjelas 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡 + 𝜀 𝑡 Misalkan terdapat hubungan atau korelasi antara 𝜀 𝑡 dan 𝜀 𝑡−1 𝜀 𝑡 =𝜌 𝜀 𝑡−1 + 𝑢 𝑡 -1 <  < 1 Dapat ditunjukkan bahwa

𝑉𝑎𝑟 𝛽 1 ∗ = 𝜎 2 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 1+𝜌 𝑡=1 𝑁−1 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡+1 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 +2 𝜌 2 𝑡=1 2 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡+2 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 +…+2 𝜌 𝑁−1 𝑥 1 𝑥 𝑁 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 1+𝜌 𝑡=1 𝑁−1 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡+1 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 +2 𝜌 2 𝑡=1 2 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡+2 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 +…+2 𝜌 𝑁−1 𝑥 1 𝑥 𝑁 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 Sementara Varians penduga OLS adalah 𝑉𝑎𝑟 𝛽 1 = 𝜎 2 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2

Jika  positif maka 𝑉𝑎𝑟 𝛽 1 <𝑉𝑎𝑟( 𝛽 1 ∗ ) Disamping itu, untuk regresi dengan satu variabel penjelas 𝜎 2 = 𝑒 𝑡 2 𝑁−2 Jika terdapat autokorelasi 𝐸 𝜎 2 = 𝜎 2 𝑁− 2 1−𝜌 −2𝜌𝑟 𝑁−2

Dimana 𝑟= 𝑡=1 𝑁−1 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡−1 𝑡=1 𝑁 𝑥 𝑡 2 Jika  dan r keduanya positif maka 𝐸 𝜎 2 < 𝜎 2

Pendeteksian Autokorelasi Metode Grafik Dilakukan dengan cara memetakan ei terhadap t atau i. Jika pemetaan ei terhadap t atau i membentuk suatu pola sistematis maka diindikasikan bahwa terdapat autokorelasi antar galat ei

Beberapa pola yang mungkin hasil pemetaan ei terhadap t atau i:

Percobaan d dari Durbin-Watson Statistik d dari Durbin-Watson ditetapkan sebagai, d = 𝑡=2 𝑛 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡−1 2 𝑡=1 𝑛 𝑒 𝑡 2 nilai d kemudian dikomparasikan dengan wilayah kritis yang dipresentasikan dalam grafik berikut

Persyaratan penggunaan statistik d Model regresi mencakup unsur intersep. Model regresi tidak mengandung nilai yang terlambat (lagged) dari peubah respon Y sebagai satu dari peubah penjelas. Jadi, pengujian tidak dapat diterapkan untuk model jenis 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1𝑡 + 𝛽 2 𝑋 2𝑡 + …+ 𝛽 𝑘 𝑋 𝑘𝑡 +𝛾 𝑌 𝑡−1 + 𝜀 𝑡 , di mana Yt–1 adalah nilai lagged satu periode dari Y.

Tindakan perbaikan Jika struktur korelasi diketahui Misalkan 𝜀 𝑡 =𝜌 𝜀 𝑡−1 + 𝑢 𝑡 (1) Dengan 𝑢 𝑡 mengikuti asumsi OLS dengan nilai harapan nol dan ragam konstan serta tidak ada autokorelasi Model Regresi dengan satu variabel penjelas 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡 + 𝜀 𝑡 (2) Pada saat t-1 modelnya menjadi 𝑌 𝑡−1 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡−1 + 𝜀 𝑡−1 (3) Kalikan (3) dengan  menjadi

𝜌𝑌 𝑡−1 = 𝜌𝛽 0 + 𝜌𝛽 1 𝑋 𝑡−1 +𝜌 𝜀 𝑡−1 (4) Kurangkan 4 dari 2 𝑌 𝑡 − 𝜌𝑌 𝑡−1 = 𝛽 0 − 𝜌𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡 −𝜌𝛽 1 𝑋 𝑡−1 + 𝜀 𝑡 −𝜌 𝜀 𝑡−1 𝑌 𝑡 − 𝜌𝑌 𝑡−1 = 𝛽 0 (1−𝜌)+ 𝛽 1 (𝑋 𝑡 −𝜌 𝑋 𝑡−1 )+ 𝑢 𝑡 𝑢 𝑡 sudah memenuhi asumsi OLS Kehilangan satu observasi karena transformasi pembedaan didapatkan dari 𝑌 1 1− 𝜌 2 dan 𝑋 1 1− 𝜌 2

Jika  tidak diketahui 1. Metode pembedaan pertama Jika  = 1persamaan pembedaan pertama adalah: 𝑌 𝑡 − 𝑌 𝑡−1 = 𝛽 1 (𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑡−1 )+( 𝜀 𝑡 − 𝜀 𝑡−1 ) = 𝛽 1 𝑋 𝑡 − 𝑋 𝑡−1 + 𝑢 𝑡 ∆ 𝑌 𝑡 =𝛽∆ 𝑋 𝑡 + 𝑢 𝑡

Misalkan model yang asli adalah 𝑌 𝑡 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡 + 𝛽 2 𝑡+ 𝜀 𝑡 Dimana t adalah variabel trend dan 𝜀 𝑡 mengikuti skema autoregresif orde pertama Maka model pembedaan pertamanya adalah ∆ 𝑌 𝑡 = 𝛽 1 ∆𝑋 𝑡 + 𝛽 2 + 𝑢 𝑡 Jika ada unsur intersep dalam bentuk pebedaan pertama, ini menandakan bahwa ada unsur trend linier dalam model asli dan unsur intersep adalah, pada kenyataannya, koefisien pada variabel trend.

Jika diasumsikan  = -1, persamaan pembedaan menjadi 𝑌 𝑡 + 𝑌 𝑡−1 =2 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡 + 𝑋 𝑡−1 + 𝑢 𝑡 Atau 𝑌 𝑡 + 𝑌 𝑡−1 2 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑡 + 𝑋 𝑡−1 2 + 𝑢 𝑡 2 Yang dikenal dengan model regresi rata – rata bergerak (moving average)

 didasarkan pada statistik d Durbin – Watson 𝑑=2 1− 𝜌 atau 𝜌 =1− 𝑑 2 Untuk sampel kecil Theil dan Nagar menyarankan hubungan berikut: 𝜌 = 𝑁 2 1− 𝑑 2 + 𝑘 2 𝑁 2 − 𝑘 2 Dimana N = banyaknya observasi total, D = d Durbin – Watson dan k = banyaknya koeisien yang diduga (termasuk intersep)