Anuitas bertumbuh dan anuitas variabel Kuliah 8 Anuitas bertumbuh dan anuitas variabel

Anuitas bertumbuh 𝑃𝑉= 1− 1+𝑔 1+𝑖 𝑛 𝑖−𝑔 𝐴 1 dan Dalam manajemen keuangan dan investasi dikenal istilah anuitas bertumbuh; yaitu rangkaian pembayaran atau penerimaan uang dengan besar yang tidak sama tetapi bertumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang sama. Rumus-rumus: 𝑃𝑉= 1− 1+𝑔 1+𝑖 𝑛 𝑖−𝑔 𝐴 1 dan 𝑃𝑉= 1− 1+𝑔 1+𝑖 𝑛−1 𝑖−𝑔 𝐴 1 + 𝐴 0 A0= besar pembayaran atau penerimaan hari ini A1= besar pembayaran atau penerimaan 1 periode lagi

Contoh soal: Berapa nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp.1.000.000,--tahun depan,Rp.1.100.000,-- tahun berikutnya dan terus bertumbuh sebesar 10% setiap tahun selama 10 kali jika tingkat bunga j1=12%? A1=1.000.000; g=10%; i=12%=0,12; n=10 𝑃𝑉= 1− 1+𝑔 1+𝑖 𝑛 𝑖−𝑔 𝐴 1 =8.244.217,26

Jika arus kas pada contoh tadi dimulai hari ini Rp. 1. 000. 000,--, Rp Jika arus kas pada contoh tadi dimulai hari ini Rp.1.000.000,--, Rp.1.100.000,- dan seterusnya dengan i dan n yang sama, berapa nilai sekarangnya 𝑃𝑉= 1− 1+𝑔 1+𝑖 𝑛−1 𝑖−𝑔 𝐴 1 + 𝐴 0 = 9.233.523,33

Anuitas variabel Perbedaannya dengan anuitas bertumbuh: Dalam anuitas bertumbuh tingkat pertumbuhan dinyatakan dalam persentase, sedangkan dalam anuitas variabel besar pertumbuhan dalam nilai nominal, seperti Rp.1000.000 Baik dalam anuitas bertumbuh maupun dalam anuitas variabel, tingkat pertumbuhan atau besarnya pertumbuhan mungkin saja negatif seperti -10% atau – Rp.100.000,--

Contoh : Utang sebesar Rp.60.000.000 berbunga 10% dilunasi 3 kali angsuran tahunan. Pelunasan pokok utang dalam setiap angsuran adalah sama besar yaitu 1/3 atau Rp.20.000.000. buatlah skedul pelunasan utang tersebut. Jawab: Biaya bunga tahun pertama= 10% X Rp.60.000.000= Rp.6.000.000 Angsuran pertama = 20.000000 + 6.000.000 = 26.000.000 Saldo utang setelah angsuran pertama = 60.000.000-20.000.000= 40.000.000

Biaya bunga tahun kedua= 10%X40.000.000=4.000.000 Angsuran kedua = 20.000.000 + 4.000.000 = 24.000.000 saldo utang setelah angsuran kedua : 40.000.000 - 20.000.000 = 20.000.000 Biaya bunga tahun ketiga=10%X20jt = 2jt angsuran ketiga = 20jt + 2jt = 22jt

Skedul pelunasan utang dlm contoh tsb ternyata memenuhi anuitas variabel dengan n=3, tingkat bunga (i)=10%, nilai awal (a1)=26jt dan perbedaan nominal - Rp.2jt. Angsuran terahir mengandung bunga Rp.2jt, angsuran kedua mengandung bunga 2 kalinya dan yang pertama bunganya 3 kali lipat Perbedaan yang konstan seperti ini adalah kunci untuk membuktikan bahwa nilai sekarang adalah Rp.60jt yaitu: (Rp.22jt-Rp.2jt) +24jt- 2X2jt)+(26jt-3X2jt)=3X20jt

contoh Dengan menggunakan skedul seri 1 dan 2, hitung nilai sekarang dari 10 pembayaran yang dimulai dari Rp.2.000.000,-Rp.1.950.000,--dan seterusnya hinggaRp.1.550.000,-jika diketahui tingkat bunga 10% tahun Arus kas (Rp.) 1 2.000.000 2 1.950.000 3 1.900.000 4 1.850.000 5 1.800.000 6 1.750.000 7 1.700.000 8 1.650.000 9 1.600.000 10 1.550.000

Besar arus kas untuk seri 1 adalah: A1= Rp. 2.000.000 d= -Rp.50.000; n=10; i=10%=0,1 𝐴= 𝑎 1 + 𝑑 𝑖 +𝑛𝑑𝐴=2.000.000+ − 50.000 0,1 +10 −50.000 =1.000.000 Berdasarkan hasil ini kita dapat menyusun skedul seri 1 dan seri 2 dari arus kas tsb sbb:

tahun Arus kas(Rp.) Seri 1(Rp.) Seri 2 (Rp.) 1 2.000.000 1.000.000 2 1.950.000 950.000 3 1.900.000 900.000 4 1.850.000 850.000 5 1.800.000 800.000 6 1.750.000 750.000 7 1.700.000 700.000 1.650.000 650.000 9 1.600.000 600.000 10 1.550.000 550.000

PV anuitas variabel PV seri 1 + PV seri 2 𝑃𝑉= 1− 1+𝑖 −𝑛 𝑖 𝐴+ −𝑛(𝑑) 𝑖 𝑃𝑉= 1−(1+0,1 ) −10 0,1 1.000.000+ −10(−50.000) 0,1 = 11.144.567,2