BILANGAN KOMPLEKS © sujono 2009

SIMBOL J Pemecahan persamaan kuadrat dengan rumus, x = contoh:

Lanjutan…… Jika dituliskan huruf j untuk menyatakan , maka

PANGKAT DARI j j menyatakan , marilah kita tinjau beberapa pangkat dari j Untuk menyatakan pangkat dari j, kurangi pangkatnya dengan pangkat j⁴ yang mungkin,hasilnya kembali ke salah satu hasil: j, -1, -j, 1

Lanjutan……. Contoh: pangkat dibagi dengan 4, sisa pembagian merupakan hasil j43 = (j4)10.j3 = (1)10. (j2)(j) = (1) . (-1)(j) = - j j125 = (j4)31.j = (1)31.j = j

BILANGAN KOMPLEKS Gabungan antara bilangan riil dan bilangan imajiner Bilangan kompleks = (bil.riil)+j(bil.imajiner) Contoh: x = 3 + j5 3 disebut bagian riil dari x 5 disebut bagian imajiner dari x BILANGAN KOMPLEKS Z=a+jb

PENJUMLAHAN & PENGURANGAN (a+jb) + (c+jd) = (a+c) + j(b+d) Contoh: (2+j8)  (2+j2)+(6-j3) =2 + j8  2  j2 + 6  j3 =2  2 + 6 + j8  j2  j3 =6 + j(8  2  3) =6 + j3

PERKALIAN (a+jb)(c+jd)=ac+jbc+jad+j²bd Contoh: Z₁=3+j4 Z₂=2+j5 (3+j4)(2+j5)=6+j8+j15+j²20 =6+j23-20 =-14+j23

Lanjutan…….. Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor maka perkalian dilakukan secara bertahap Contoh: Z₁=3+j4 (3+j4)(2-j5)(1-j2)=(6+j8-j15-j²20)(1-j2) Z₂=2-j5 =(6-j7+20)(1-j2) Z₃=1-j2 =(26-j7)(1-j2) =26-j7-j52+j²14 =26-j59-14 =12-j59

BILANGAN KOMPLEKS KONJUGAT yaitu bilangan kompleks dalam bentuk (a+jb)dan(a-jb) Hasil perkalian antara dua bilangan kompleks konjugat selalu riil Contoh: (3-j2)(3+j2)=3²-j6+j6-(j2)² =9-j²4 =9+4 =13

PEMBAGIAN Untuk membagi sebuah bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lainnya, kita kalikan pembilang & penyebutnya dengan konjugat dari penyebutnya. Cara ini akan mengubah penyebutnya menjadi bilangan riil Contoh: konjugat dari penyebutnya yaitu 1+j3   ─

KESAMAAN BILANGAN KOMPLEKS Apa yang dapat diketahui jika dua bilangan kompleks dikatakan sama? Misal kedua bilangan tersebut adalah: a+jb dan c+jd Maka diperoleh: a+jb=c+jd Penyusunan kembali letak suku-sukunya, memberikan: a-c=j(d-b)

Lanjutan…….. Dari pernyataan tersebut, besaran di ruas kiri keseluruhannya “riil” sedangkan besaran di ruas kanan keseluruhannya “imajiner”. Jadi besaran riil=besaran imajiner!! Hal itu TIDAK BENAR. Tetapi ada “satu” hal khusus yang memungkinkan hal itu benar, yaitu jika “masing-masing ruas =0” a-c=j(d-b) BENAR hanya jika a-c=0, yaitu a=c dan jika d-b=0, yaitu d=b

Lanjutan…….. Jadi jika dua buah bilangan kompleks sama, maka: kedua bagian riilnya sama kedua bagian imajinernya sama Misal: x+jy=5+j4 maka diketahui, x=5 dan y=4

Pernyataan bilangan kompleks secara grafis Garis vektor menyatakan besar dan arah disebut vektor.Faktor “j” selalu memutar vektor sebesar 90˚ dalam arah positif,tetapi berlawanan dengan arah jarum jam. Garis acuan pada diagram a)Skala sumbu-x menyatakan bilangan riil b)Skala sumbu-y menyatakan bilangan imajiner Pernyataan grafis disebut sebagai diagram argand

Penjumlahan bilangan kompeks secara grafis Jumlah dua vektor dalam diagram argand diberikan oleh jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor. Apabila ada vektor negatif maka digambarkan dengan vektor positif tetapi mengarah kearah berlawanan dengan panjang atau besar yang sama.

Contoh : Tentukan (4+j5)+(-5+j2)-(-3+j4) =4+j5-5+j2+3-j4 =4-5+3+j(5+2-4) = 2+j3 grafik

Bentuk kutub bilangan kompleks Maka r²=a²+b² Dan Juga a=r cosθ dan b=r sinθ z=a+jb z=r cosθ +j r sin θ z=r(cosθ+j sinθ)

Contoh: Nyatakan z=4+j3 dalam bentuk kutub. a=4 b=3

Z=4+j3 =r(cosθ+j sinθ) =5(cos 36˚52’+j sin 36˚52’) r disebut modulus dari bilangan kompleks(|z|) θ disebut argumen dari bilangan kompleks(arg z) Sering kali digunakan simbol singkat r

Bentuk eksponensial bilangan kompleks Bentuk eksponen diperoleh dari bentuk kutub r(cosθ+j sinθ) dapat dituliskan a)Harga r dalam kedua bentuk sama b) Sudut dalam kedua bentuk itu juga sama,tetapi untuk bentuk eksponensial harus dinyatakan dalam radian.

Contoh: ubahlah dalam bentuk kutub 5(cos 60˚+j sin 60˚) r=5 θ = 60˚= radian Bentuk eksponensialnya adalah Tentang sudut negatif Diketahui jika kita ganti θ dengan –θ, maka kita dapatkan:

Logaritma bilangan kompleks Satu operasi bilangan kompleks disebut logaritma bilangan kompleks.Bentukeksponensial memungkinkan pengerjaan soal ini,karena bentuk eksponensial hanya memuat perkalian dan pangkat

maka dapat dituliskan ln z= ln r+jθ Contoh: ln z=ln 6,42+j 1,57