Logika dan Logika Matematika M. IKHSAN Universitas Syiah Kuala 7/19/2018 > EXIT

KAITAN ANTAR SUB TOPIK DALAM LOGIKA Motivasi, Pengertian, Pernyataan Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi Konversi Inversi Kontraposisi Definisi dan tabel kebenaran Modus Ponens, Modus Tolens, dan silogisme Pembuktian Matematika B. Langsung B Tak Langsung Induksi Matematika 7/19/2018

Pengertian Logika Logika adalah ilmu pengetahuan yang memandang hukum-hukum, susunan atau bentuk pikiran manuasi yang menyebabkan fikiran dapat mencapai kebenaran Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari pekerjaan akal yang dipandang dari jurusan benar salah Pelajaran logika adalah pelajaran yang berisi metoda-metoda atau prinsip-prinsip yang dipakai untuk membedakan berfikir benar dan salah 7/19/2018

Hubungan antara Logika dan Matematika “Matematika adalah logika yang telah berkembang yang memberikan sifat kuantitatif kepada pengetahuan keilmuan” 7/19/2018

Manfaat Logika matematika Undefined term Definisi Teorema atau dalil Sifat-sifat dan dalil bantu, dalil akibat semuanya dibangun berdasarkan logika 7/19/2018

Pernyataan (statement) dan Nilai kebenaran Kalimat atau kalimat matematika yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja tetapi tidak keduanya dinamakan PERNYATAAN. MANA YANG MERUPAKAN PERNYATAAN DAN MANA YANG BUKAN? Mengapa? p: “2 + 2 = 4” q: “y2 - 4y + 3 = 0” r: “Ibukota Jepang adalah Tokyo” t: “Untuk x bilangan prima pertidaksamaan 2x-5 < 11 memberikan nilai-nilai x sebesar 2, 3, 5, dan 7” u: “Salah satu faktor dari 21 adalah 2” 7/19/2018

Nilai Kebenaran suatu Pernyataan Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan di bawah ini PERNYATAAN NILAI KEBENARAN p : “30 + 40 = 3040” (p) = … q : “21 adalah bilangan prima” (q) = … r : “KPK dari 12 dan 15 adalah 60” (r) = … s : “sin2 0 + cos2 0 = 0” (s) = … t : “(x-y)(x+y) = x2 – y2 ” (t) = … u : “ 4x – 5 < 7 (u) = … 7/19/2018 < > MAIN MENU EXIT

Konjungsi Konjungsi dua pernyataan p dan q ditulis “pq” bernilai benar jika p benar dan q benar, dalam keadaan lain salah p q pq B S 7/19/2018 < > MAIN MENU EXIT

Konjungsi pada Jaringan Listrik Jaringan Listrik Seri p q p q pq 1 7/19/2018

DISJUNGSI Disjungsi dua pernyataan p dan q ditulis “pq” bernilai salah jika p salah dan q salah, dalam keadaan lain benar p q p  q B S 7/19/2018

Disjungsi pada Jaringan Listrik Jaringan Listrik Paralel p q p q p q 1 7/19/2018

Implikasi Implikasi dari pernyataan-pernyataan p dan q ditulis “pq” bernilai salah jika p benar dan q salah, dalam keadaan lain benar. Dalam implikasi “Jika p maka q”, pernyataan p dinamakan anteseden (kondisi) dan q dinamakan konsekuen (konklusi) p q p  q B S 7/19/2018

Contoh: Seorang siswa A berjanji kepada kawan setianya sebagai berikut: “Jika aku lulus ujian nasional, maka kamu akan kutraktir makan pizza” SITUASI Konsekuensi Setujukah? Si A lulus ujian A traktir temannya Pizza ya Si A lulus ujian A tidak traktir temannya Pizza tidak Si A tidak lulus ujian A traktir temannya Pizza ya Si A tidak lulus ujian A tidak traktir temannya Pizza ya 7/19/2018

Implikasi Logis B S (pq)  p pq q p tautologi Implikasi Logis: Implikasi logis adalah suatu implikasi yang bernilai benar atau suatu implikasi yang merupakan tautologi. Contoh: (pq)  p selalu bernilai benar B S (pq)  p pq q p tautologi 7/19/2018

BIIMPLIKASI Jika p dan q adalah pernyataan-pernyataan, maka biimplikasi dari p dan q ditulis p ↔ q bernilai benar jika p dan q bernilai sama p q p ↔ q B S 7/19/2018 < > MAIN MENU EXIT

Biimplikasi Logis B S (p → q)  (q → p) p q p → q q → p p ↔ q Suatu biimplikasi dinamakan biimplikasi logis jika biimplikasi itu benar atau biimplikasi itu suatu tautologi. Contoh: Periksa apakah merupakan biimplikasi logis? p ↔ q dan (p → q)  (q → p) Ternyata merupakan biimplikasi logis (p ↔ q)  [(p → q)  (q → p)] p q p → q q → p p ↔ q (p → q)  (q → p) B S 7/19/2018

Implikasi, Konversi, Inversi dan Kontra Posisi Implikasi p → q Konversi q → p Inversi ~p → ~ q Kontraposisi ~q→~ p 7/19/2018

Implikasi, Konversi, Inversi dan Kontra Posisi q ~p ~q p→q q→p ~p → ~q ~q → ~p B S 7/19/2018

Implikasi memiliki nilai kebenaran yang sama dengan kontraposisi Konversi Inversi Kontra Posisi p q ~p ~q p→q q→p ~p → ~q ~q → ~p B S 7/19/2018

Konversi dan inversi dari suatu implikasi juga memiliki kebenaran yang sama Kontra Posisi p q ~p ~q p→q q→p ~p → ~q ~q → ~p B S 7/19/2018

Dua temuan Penting (p→q)  (~q → ~p) suatu tautologi 2. (q→p)  (~p → ~q) suatu tautologi Seringkali digunakan dalam pembuktian-pembuktian matematika 7/19/2018

Negasi suatu suatu Konjungsi, Disjungsi, dan Implikasi Bagaimana anda memperoleh negasi suatu konjungsi p  q? Dapat kita katakan bahwa negasi dari pq bernilai sama dengan ~p~q p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q B S 7/19/2018

Negasi Disjungsi p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q B S Bagaimana anda memperoleh negasi dari disjungsi p  q? Dapat kita katakan bahwa negasi dari p  q bernilai sama dengan ~p  ~q p q ~p ~q p  q ~(p  q) ~p  ~q B S 7/19/2018

Negasi suatu Implikasi Bagaimana anda memperoleh negasi dari implikasi p→q? Kita katakan bahwa p →q bernilai sama dengan ~p q Sehingga negasi dari p →q juga sama dengan negasi dari ~p q p q ~p ~q p→ q ~p  q) (p→q) (~pq) B S 7/19/2018

Negasi implikasi ~(p →q) adalah ~ (~p q) atau p ~q Dengan demikian dapat dikatakan bahwa ~(p →q) adalah ~ (~p q) atau p ~q “Negasi dari suatu implikasi p → q adalah konjungsi dari p dan ~q” Negasi dari pernyataan “Jika 2 + 5 = 7 maka sin 30o= ½” dapat ditulis: (a) “2+ 5 = 7 dan sin 30o  ½” (b) Tak benar bahwa “2 + 5  7 atau sin 30o= ½” 7/19/2018

Modus Ponens p q p→q (p→q)p [(p→q)p] q B S p→q Jika hari hujan, maka tanah halaman rumah basah p Hari hujan  q  Tanah halaman rumah basah Untuk memeriksa kebenaran argumen dari MP di atas harus diperiksa apakah [(p→q)  p] q suatu tautologi? p q p→q (p→q)p [(p→q)p] q B S 7/19/2018

Modus Tolens p q p→q (p→q)~q [(p→q)~q] ~p B S p→q Jika hari hujan, maka tanah halaman rumah basah ~q Tanah halaman rumah tidak basah  ~ p  Hari tidak hujan Untuk memeriksa kebenaran argumen dari MT di atas harus diperiksa apakah [(p→q)  ~ q]  ~ p suatu tautologi? p q ~p ~q p→q (p→q)~q [(p→q)~q] ~p B S 7/19/2018

Silogisme Jika garis-garis g dan h bergradien sama, maka g dan h sejajar Jika garis g dan h sejajar, maka g dan h tak berpotongan di satu titik Jika g dan h bergradien sama, maka g dan h tak berpotongan di satu titik. Penalaran di atas dapat disimbolkan: p → q q → r  p → r 7/19/2018

Bukti menggunakan kontrapositif Buktikan bahwa “Jika n2 bilangan genap, maka n adalah bilangan genap” Bukti; Gunakan p → q eqivalen dengan ~q → ~p “Jika n2 genap maka n genap”, kontrapositifnya “jika n tidak genap maka n2 tak genap” Karena n tak genap maka dapat ditulis n = 2r + 1 dengan r bulat Karenanya n2 = (2r+1)2 = 4r2+4r + 1 = 2(2r2+2r) + 1 = 2t + 1 dengan t t = 2r2+2r, karena r bulat akibatnya t juga bulat sehingga n2 tak genap. Kita dapatkan untuk n tak genap menyebabkan n2 tak genap. Karena bentuk ~q → ~p terbukti benar akibatnya p → q juga benar dengan kata lain. “Jika n2 bilangan genap, maka n adalah bilangan genap” TERBUKTI BENAR 7/19/2018

Bukti Tak Langsung Jika hasil kali dua bilangan real adalah nol, maka sekurang-kurangnya satu dari kedua bilangan tersebut adalah nol Bukti: Andaikan a, b  R dengan ab = 0, namun kita sumsikan bahwa a0 dan b  0 (kita pertahankan premisnya dan buat negasi kesimpulannya). Karena a0, maka 1/a terdefinisi, oleh karenanya 1/a (ab) = b (sifat invers) dan 1/a (ab) = 1/a (0) sebab ab = 0, sehingga b = 0 Namun b = 0 bertentangan dengan b  0, Jadi dengan prinsip argument tak langsung Teorema Benar. 7/19/2018

Bukti tak langsung Buktikan bahwa tak ada bilangan asli terbesar Bukti (i) Andaikan ada himpunan bilangan asli (N) yang memuat bilangan asli terbesar k. (ii) Karena k dan (k+1) adalah bilangan-bilangan asli, maka hasil kalinya juga bilangan asli, KARENA ITU: k (k+1)< k (sebab k adalah bilangan terbesar dalam N) k2 + k < k k2 < 0 , namun k2 < 0 tidak benar untuk semua bilangan asli k, jadi k N (iii) Karena kita asumsikan k bilangan asli, namun kita dapatkan kesimpulan k bukan bilangan asli, maka kita mempunyai suatu kontradiksi. Karenanya asumsi bahwa himpunan bilangan asli memiliki bilangan terbesar salah. Akibatnya benar bahwa TAK ADA BILANGAN ASLI TERBESAR. 7/19/2018

PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG Buktikan bahwa 3 adalah Bilangan Irrasional Bukti kita gunakan bukti tak langsung. Andaikan 3 bilangan rasional sehingga dapat dinyatakan sebagai a/b dengan a dan b bilangan bulat positif tanpa faktor persekutuan a/b=3 atau a2/b2=3 atau a2 = 3b2, dengan demikian a2 kelipatan 3. (Karena a2 kelipatan 3 maka a kelipatan 3, sehingga dapat ditul;is sebagai a = 3t, dengan t bilangan bulat), sehingga a2 = (3t)2 = 9t2, dengan demikian 9t2 = 3b2 atau 3t2 = b2 Karenanya b2 merupakan kelipatan 3 dan b kelipatan 3. Oleh karena itu keduanya a dan b memiliki faktor persekutuan 3 Bertentangan dengan asumsi, jadi 3 adalah bilangan irrasional 7/19/2018

Bukti menggunakan Induksi Matematika BUKTIKAN: “Jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2” P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2 Bukti: Langkah 1: Untuk n = 1, maka 1 = 1, dan (P1) benar Langkah 2: Asumsikan P(k) benar untuk n = k, sehingga 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k2 (BENAR) Untuk n=k+1, maka akan dibuktikan P(k+1) benar P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k2 + (2(k +1)-1) = k2 + 2k +1 = (k+1)2 Kita telah membuktikan bahwa P(k+1) = (k+1)2, yang mengatakan bahwa jika P(k) benar, menyebabkan P(k+1) benar. Jadi P(n) benar untuk semua n bilangan asli. 7/19/2018

Pernyataan Berkuantor Ada dua kuantor dalam pembicaraan ini yaitu Kuantor Universal () Kuantor Eksistensial () 7/19/2018

Kuantor Universal Contoh kuantor Universal “Semua orang Indonesia Berambut Hitam” Secara matematis “Untuk setiap sesuatu (Orang Indonesia) berlaku sifat tertentu (Berambut Hitam)” [x berlaku Mx] “Untuk semua” atau “untuk setiap” dilambangkan dengan “x” dan Mx berarti sifat tertentu yang merupakan syarat yang perlu bagi sesuatu. “Setiap Rosul adalah Nabi” “Setiap bilangan asli merupakan bilangan bulat” “Semua mahluk hidup bakal mati” 7/19/2018

Kuantor Eksistensial Contoh pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa orang Indonesia pemakan nasi” secara matematik dapat di fikirkan kembali: “Ada sesuatu (orang Indonesia), berlaku sifat tertentu (pemakan nasi)” Dengan menggunakan simbol ditulis (x berlaku Mx), x simbol kuantor eksistensial sebagai pengganti kata “beberapa” atau “ada” atau “terdapat” dan simbol Mx merupakan sifat tertentu “Beberapa orang Indonesia pemakan sagu” “Ada pesawat terbang tanpa awak pesawat” “Terdapat bilangan bulat yang tidak mempunyai invers” 7/19/2018

Negasi dari Kalimat berkuantor NEGASI KUANTOR UNIVERSAL “Semua hewan menyusui melahirkan” Kalau pernyataan di atas benar, untuk menentukan negasinya maka kita harus menunjukkan pernyataan yang salah. “ADA beberapa hewan menyusui tetapi tidak melahirkan” “x berlaku Mx” NEGASINYA  “x tetapi tidak berlaku Mx” “Semua pulau di Indonesia berbendera Merah Putih” NEGASINYA “Ada pulau di Indonesia tak berbendera Merah Putih” 7/19/2018

Negasi dari Kalimat berkuantor NEGASI KUANTOR Eksistensial “Beberapa Gubernur di Indonesia adalah wanita” Kalau pernyataan di atas benar, untuk menentukan negasinya maka kita harus menunjukkan pernyataan yang salah “Semua gubernur di Indonesia adalah laki-laki” “x berlaku Mx” NEGASINYA “x tidak berlaku Mx” atau “x , ~ Mx” p: “Terdapat bilangan prima yang genap” ~p: “Semua bilangan prima tidak genap” q: “Beberapa anggota DPR adalah ilmuwan” ~q: “Semua anggota DPR bukan ilmuwan 7/19/2018

End 7/19/2018

7/19/2018