TRANSFORMASI LINEAR  Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd   Disusun oleh : Kelompok 7 Kelas 3 A2 Endar Alviyunita Ahmat Sehari Kunikatus Sangadah Nur Lailatus Shofiah

Transformasi Linier dari Rn ke Rm Jika pada suatu fungsi f dengan Rn sebagai domain dan Rm sebagai kodomain (m dan n mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa fungsi f memetakan Rn ke Rm dengan notasi f: Rn → Rm Jika kita menotasikan suatu transformasi dengan T, maka T: Rn → Rm yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut: W1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn W2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ... Wm = am1x1 + am2x2 + ... + amnxn

Dalam notasi matriks W = AX u Dalam notasi matriks W = AX

Pengertian Transformasi Linier Secara Umum Jika T : V → W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor v kedalam ruang vektor w maka T dinamakan transformasi linier jika: i. T (u+v) = T (u) + T (v) untuk semua vektor u dan v di V ii. T (ku) = kT (u)untuk semua vektor u didalam V dan semua skalar k

Contoh-contoh Transformasi Linier 1 . Pemetaan Nol Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol. Misalkan T: V → W dengan T(x) = (0) adalah pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0 ϵ W ke setiap vektor v ϵ V. Untuk sebarang vektor u, v ϵ V, maka diketahui T( u+v) = 0 T(u+v) = 0 + 0 T(u+v) = T(u) + T(v) T(ku) = 0 T(ku) = k.0 T(ku) = kT(u) Oleh karena itu, T transformasi linier

2. Pemetaan Identitas Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan v ke dirinya sendiri . Pemetaan T : V → V yang didefinisakan oleh T(v) = V, biasanya dinotasikan oleh I. Perhatikan pemetaan identitas I : V → V, dengan T(x,y) = x,y yang memetakan tiap v V ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang vektor u,v ϵ V kita mempunyai I(u+v) = u + v = I(u) + I(v) Ambil u ϵ V dan k skalar, maka I(ku) = k l.u I(ku) = k I (u) Jadi, I transformasi linier.

3. Pemetaan Konstan Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan T : V → W yang didefinisikan oleh T(u) = c. Dengan u ϵ V dan c adalah suatu konstanta. Karena suatu konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan merupakan suatu transformasi linier. Bukti: Misalkan T : R2 → C adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (x,y) dengan v = (x,y) di R2 dan C ϵ R. Tunjukkan apakah T merupakan suatu transformasi linier! Misalkan u = (x1, y1) dan v = (x2, y2) T (u + v ) = T ((x1,y1) + (x2, y2)) = T (x1 +x2, y1 + y2) = ((x1+x2), (y1+y2)) = ((x1,y1) + (x2, y2))

4.  Pemetaan dari R2 ke R2 Misalkan T : R2 → R2 adalah fungsi yang didefinisikan oleh T(v) = (2x,y) dengan v = (x,y) di R2 Bukti : T : R2 → R2 T(v) = (2x,y) Misalkan u = (x1, y1) dan v =( x2,y2 ) (i) T(u+v) = T((x1, y1) + ( x2,y2 )) = T(x1+ x2, y1+ y2) = (2(x1+ x2 ) (y1+ y2) = ((2 x1, y1 ) + (2 x2, y2 )) = T(u)+T(v) (ii) T(ku) = T(k x1 k y1 ) = (k 2 x1, k y1 ) = k (2 x1, y1) = k T(u)

5. Pemetaan dari R3 ke R Periksa linearitas transformasi, T: R3→ R dengan T(x,y,z) = (x+y+z) Penyelesaian : T: R3→ R T(x,y,z) = (x+y+z) Misalkan u = (x1+y1+z1) dan v= (x2+y2+z2)

T(u+v)= T((x1,y1,z1) + (x2,y2,z2)) = T(x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2) = x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2 = T (x1+y1+z1) + T (x2+y2+z2) = T(u)+T(v) T(ku) = T(kx1 + ky1 + kz1) = kx1 + ky1 + kz1 = k(x1+y1+z1) = kT (x1+y1+z1) = kT(u) Dengan demikian, T transformasi linier

6. Pemetaan dari R ke R2 Periksa linearitas transformasi, T : R→R2 dengan \T(x+y) = (x,y) Misalkan x+y = 8 maka x+y = 8 →(1,7) →(2,6) → (... , ... ) Karena fungsi di atas mempunyai banyak pemetaan, sehingga T bukan merupakan suatu transformasi linear.

Sifat-sifat Transformasi Linear Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka v1 dan v2 sebarang pada V dan skalar c1 dan c2 sebarang, kita memperoleh Dan secara lebih umum, jika v1 v2 ... Vn adalah vektor-vektor pada V dan c1 c2 ... Cn adalah skalar maka T(c1 v1 + c2 v2 + ... + Cn Vn )= c1 T (v1) + c2 T (v2) + ...+ Cn T (Vn ) ... (1)

Teorema 8.1.1 Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka : T(0) = 0 T(-v) = -T(v) untuk semua v pada V T(v-w) = T(v) – T(w) untuk semua v dan w pada V

Bukti : Misalkan v adalah vektor sebarang pada V karena 0v = 0, kita memperoleh (a) T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0 (b) T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v) Akhirnya, v-w = v+ (-1) w sehingga, (c) T(v-w) = T(v+(-1)w) = T(v) + (-1) T (w) = T(v) –T(w)

Kernel dan Jangkauan Kernel dari transformasi Misal T : V → W merupakan transformasi linear, maka kernel (Inti/Ruang nol) dari T adalah himpunan vektor di V yang dipetakan ke vektor oleh T. Kernel dari transformasi T dinotasikan dengan Untuk memperjelas pengertian dari kernel suatu transformasi, perhatikan transformasi T yang diberikan oleh gambar 1 berikut: Dari gambar nampak bahwa kernel dari trasformasi T diberikan sebab kedua vector dan dipetakan terhadap vektor nol.

Jangkauan dari transformasi Misal T : V → W merupakan transformasi linear, maka Jangkauan/Range dari T yaitu himpunan vektor di W yang merupakan bayangan atau peta dari paling sedikit satu vektor di V. Jangkauan dari T dinotasikan dengan CONTOH

.

,

Teorema 2 Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka : (i) Kernel dari T adalah subruang dari V (ii)Jangkauan dari T adalah subruang dari W Bukti : Berdasarkan teorema 1, vektor 0 berada didalam ker (T), sehingga himpunan ini mengandung setidaknya satu vektor misalkan dan adalah vektor-vektor didalam ker(T), dan misalkan k adalah skalar sebarang, maka:

.

Definisi 2 Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank (T); dimensi karnelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan nuitas (T) jangkauan T adalah ruang kolom dari A. Karnel T adalah ruang pemecahan sehingga : Rank (T)=dim(ruang kolom A)=rank(A) Nulitas(T)=dim(ruang pemecahan ) Teorema 4 (Teorema dimensi) Jika T : V → W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka: .

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya. dalam kasus khusus dimana Dan T : V → W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n dan Rank(A) + dim (ruang pemecahan Ax = 0) = n Contoh soal: Tentukan rank dan nulitas dari transformasi linear yang didefinisikan dengan . .

.

Representasi Matriks dari Tranformasi Linear Misalkan adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W, bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linear tersebut dapat dinyatakan dengan suatu matriks, yang disebut matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan adalah basis baku untuk dan misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang dibentuk oleh sebagai vektor-vektor kolomnya, maka A disebut sebagai matriks penyajian (representasi matriks).

.

, CONTOH

. TERIMAKASIH