Ring Polinomial
Teorema XV.1 Himpunan A[x] merupakan ring. Monomial adalah polinomial an xn dengan tepat satu suku yang tidak nol. Berikut ini diberikan sifat dari pergandaan dua monomial. Teorema XV.2 Dalam sebarang polinomial A[x] berlaku (an xn ) (bm xm ) = (an bm ) xn + m .
Teorema XV.3 (1) Jika A komutatif maka A[x] komutatif. (2) Jika A mempunyai anggota satuan maka A[x] mempunyai anggota satuan. (3) Jika A daerah integral maka A[x] daerah integral. (4) Jika A field maka A[x] daerah integral yang bukan field.
Teorema XV.7 Jika A ring komutatif dan p(x) dalam A[x] mempunyai faktorisasi f(x) g(x) maka untuk sebarang s dalam A berlaku p(s) = f(s) g(s). Teorema XV.8 Jika A ring komutatif dan a(x) dalam A[x] sehingga memenuhi a(x) = b(x) q(x) + r(x) maka untuk sebarang s dalam A berlaku a(s) = b(s) q(s) + r(s).
Teorema XV.9 Diketahui A ring komutatif dengan satuan dan a(x) dalam A[x] tidak konstan. Anggota s dalam A merupakan akar dari a(x) jika dan hanya jika x - s merupakan faktor dari a(x). Teorema XV.10 Diketahui A sebarang field dan p(x) sebarang polinomial berderajat dua dan tiga dalam A[x]. Polinomial p[x] redusibel atas A jika dan hanya jika p(x) mempunyai akar dalam A.
Teorema XV.11 Jika p(x) polinomial berderajat n ≥ 0 dengan koefisien dalam suatu daerah integral D maka p(x) paling banyak mempunyai n akar dalam D. Soal XV.1 Akan dicari faktorisasi dari polynomial f(x) = 2x4 + x3 + 3 x2 + 2x + 4 atas field Z5.
Latihan
Latihan (lanjutan)
Terima Kasih