PENGOLAHAN GUGUS Abdul Aziz Karim

Pengolahan suatu gugus :  Pengolahan dasar : Mangkuk (≈ Paduan / Gabungan), U Tudung (≈ Potongan/ Irisan), ∩ Beda, –  Denah Venn : S A B (A-B) (B-A) (A∩B) (A Ө B) S = Semesta / Universum A = gugus A B = gugus B

ε  Pengolahan Dasar & Denah Venn  Mangkuk (≈ paduan / gabungan) 11 1 2 3 4 5 6 A B S M = A B ∩ A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} M = {1,2,3,4} {3,4,5,6} ∩ = {1,2,3,4,5,6} A U B x A B ∩ ε x A atau x B atau x A&B

ε ε Meskipun a A dan b B ; maka hasil mangkuk-nya tetap merupakan penggabungan semua unsur yang ada di masing-masing gugus. 1 5 7 3 9 8 2 4 6 A B S A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8} T = {1,3,5,7,9} U {2,4,6,8} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

ε  Tudung (≈ potongan / irisan) T = A B ∩ 11 1 2 3 4 5 6 A B S = {3 , 4} A ∩ B x A B ∩ ε x A dan x B

Bila a A dan b B ; maka hasil tudungnya tidak diperoleh satu unsurpun untuk saling dimiliki. ε 1 5 7 3 9 8 2 4 6 A B S A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {2, 4, 6, 8} T = {1,3,5,7,9} {2,4,6,8} ∩ = { } = O O

ε ε  Beda = A ∩ B – S = A – B 1 2 5 6 4 3 A B S A = {1, 2, 3, 4} = {1,2,3,4} ∩ {3,4,5,6} = {1,2,3,4} ∩ {1 , 2} = {1 , 2} x A – B ε x A dan x B – x B = x B ε –

 Beberapa persamaan pengolahan suatu gugus : 1. Kesamaan terhadap a. Paduan : A U = A O A U U = U b. Potongan : A = ∩ O A U = A ∩ 2. Kesamakuatan terhadap a. Paduan : A A = A ∩ b. Potongan : A A = A ∩ 3. Komplemen A A = U ∩ – A A = ∩ – O A = A =

4. Komutasi terhadap a. Paduan : A B = B A ∩ b. Potongan : A B = B A ∩ 5. de Morgan (dualitas) A B = A B ∩ – A B = A B ∩ – 6. Assosiasi terhadap a. Paduan : A (B C) = (A B) C ∩ b. Potongan : A (B C) = (A B) C ∩

7. Sebaran terhadap a. Paduan : A (B C) = (A B) (A C) ∩ (B C) A = (B A) (C A) ∩ b. Potongan : A (B C) = (A B) (A C) ∩ (B C) A = (B A) (C A) ∩

a. Bila B = {x; x bilangan bulat, -3 < x ≤ 4} dan CL OGs-01 SL OGs-01 a. Bila B = {x; x bilangan bulat, -3 < x ≤ 4} dan P = {x; x bilangan bulat positip genap} JCL OGs-01A Tentukan : ∩ B P P B ∩ (B – P) (P – B) b. Bila A = {x; -3 < x ≤ 4} , B = {x; 1 ≤ x < 2} , C = {x; 1 ≤ x < 4,5} JCL OGs-01B Tentukan : A B ∩ A C ∩ B C ∩ A B C ∩ (A B) C ∩ A (B C) ∩ (A B) C ∩

 Daftar Keanggotaan (alat pembuktian untuk persamaan yang lebih rumit)  Mangkuk (≈ paduan / gabungan) A B A B ∩ ε x (1) (2) (3)

ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε  Tudung (≈ potongan / irisan) A B A B ∩ x (1) (2) (3)

ε ε ε ε –  Beda & Komplemen A – B = A ∩ B – (3) B ) (1) ( A ∩ (4) (2) x

U A B CATATAN “Beda Setangkup” (A–B) (B–A) (A Ө B) – A Ө B = (A ∩ B) (B ∩ A) – ∩

ε  – A Ө B = (A ∩ B) (B ∩ A) ∩ (A ∩ B) (B ∩ A) ∩ – – ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 

b. Buktikan kebenaran dari kesamaan pernyataan-pernyataan berikut : CL OGs-02 SL OGs-02 a. Buktikan apakah : (semua gugus yang dikemukakan merupakan anak-anak gugus dari gugus S) (A – B) = (A U B) X ∩ (Y–X) = O JCL OGs-02A (A U B) – C = (A – C) U (B – C) b. Buktikan kebenaran dari kesamaan pernyataan-pernyataan berikut : JCL OGs-02B A ∩ (A U B) = A U B (A ∩ B) ∩ (A U B) = O