VARIABEL ACAK (RANDOM VARIABLES) Fungsi yang dihubungkan dengan suatu percobaan, yang nilai-nilainya adalah bilangan nyata dan kemunculan nilai-nilai tersebut bergantung pada peluang. Variabel acak biasa dinotasikan dengan huruf besar bercetak tebal, misalnya: X, Y, Z, dsb.

DISTRIBUSI PELUANG SUATU VARIABEL ACAK DISKRIT Himpunan pasangan terurut (x,f(x)) dikatakan suatu distribusi peluang/fungsi peluang dari suatu variabel acak diskrit X jika memenuhi 3 kriteria berikut: x f(x)  0 x P(X=x) = f(x) f(x) = 1 x

Banyaknya Mobil Terjual CONTOH (1) Banyaknya Mobil Terjual Peluang 0,10 1 0,30 2 0,50 3 0,07 4 0,03

Banyaknya Pegawai yang Hadir CONTOH (2) Banyaknya Pegawai yang Hadir Peluang 0,010 1 2 0,015 3 4 0,020 5 0,130 6 0,170 7 0,180 8 0,220 9 0,230

CONTOH (3) Misalkan 3 buah uang logam dilemparkan bersamaan dan variabel acak X menyatakan banyaknya sisi Angka yang muncul. X dapat bernilai 0, 1, 2, 3 P(X=0) = 1/8 P(X=1) = 3/8 P(X=2) = 3/8 P(X=3) = 1/8

MENENTUKAN FUNGSI PELUANG PADA CONTOH 3 S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GGA, GAG, GGG} => |S| = 8 E0 = {GGG} => |E0| = 1 => P(E0) = 1/8 E1 = {AGG,GGA,GAG} => |E1| = 3 => P(E1) = 3/8 E2 = {AAG,AGA,GAA} => |E2| = 3 => P(E2) = 3/8 E3 = {AAA} => |E3| = 1 => P(E3) = 1/8

HISTOGRAM PELUANG CONTOH 3

RATA-RATA SUATU VARIABEL ACAK DISKRIT Misalkan X adalah suatu variabel acak diskrit dengan fungsi peluang f(x). Yang dimaksud dengan rata-rata/mean atau nilai harapan dari X adalah: X = E(X) =  xf(x) x

CONTOH SOAL MENGHITUNG RATA-RATA Di suatu tempat cuci mobil, biaya cuci per mobil adalah Rp 15.000. Banyaknya mobil per hari bervariasi, dengan distribusi peluang berikut: P(X=0) = 0,1 P(X=1) = 0,15, P(X=2) = 0,20, P(X=3) = 0,25, P(X=4)=0,3, dengan X adalah banyaknya mobil yang dicuci per hari. Berapakah rata-rata banyaknya mobil yang dicuci dalam sehari?

JAWABAN Rata-rata banyaknya mobil yang dicuci: E(X) = 0.0,1 + 1.0,15 + 2.0,20 + 3.0,25 + 4.0,30 = 0+0,15+0,40+0,75+1,20=2,50. Rata-rata penghasilan per hari = 2,5 x Rp 15.000 = Rp 37.500.

MENENTUKAN RATA-RATA PADA CONTOH 3 E(X) = 0.1/8 + 1.3/8 + 2.3/8 + 3.1/8 = 1,5. Rata-rata banyaknya sisi Angka yang muncul pada pelemparan 3 buah uang logam secara bersamaan adalah 1,5.

Latihan 1 The Pizza Palace offers three sizes of cola – small, medium, and large - to go with its pizza. The colas are sold for $0.80, $0.90, and $1.20, respectively. Thirty percent of the orders are for small, 50% are for medium, and 20% are for the large sizes. Organize the size of the colas and the probability of a sale into a probability distribution. Compute the mean amount charged for a cola.

Latihan 2 The information below is the number of daily emergency service calls made by the volunteer ambulance service of Walterboro, South Carolina, for the last 50 days. Number of Calls Frequency 8 1 10 2 22 3 9 4 SUM 50 Convert this information on the number of calls to a probability distribution. What is the mean number of emergency calls per day?

RATA-RATA PENDAPATAN SUATU JENIS TARUHAN (A) Pelemparan 3 uang logam bersamaan Bentuk taruhan: Apakah ketiga uang logam yang dilempar bersamaan menunjukkan sisi yang sama (Angka semua atau Gambar semua)? Kalau muncul Angka semua atau Gambar semua kita mendapatkan Rp 80.000. Kalau ada sisi yang tidak sejenis kita membayar Rp 30.000 Berapa rata-rata pendapatan dari taruhan tsb.?

VARIANSI DAN SIMPANGAN BAKU SUATU VARIABEL ACAK DISKRIT Misalkan X suatu variabel acak diskrit dengan fungsi peluang f(x) dan rata-rata . Variansi dari X didefinisikan sebagai berikut: 2X = E[(X - )2] =  (x - )2f(x) Akar positif dari variansi, X , disebut simpangan baku dari X.

TARUHAN B Bentuk taruhan: Sebuah uang logam dilemparkan satu kali. Apakah akan muncul sisi Angka atau sisi Gambar? Kalau muncul sisi Angka, kita mendapat Rp 60.000. Kalau muncul sisi Gambar, kita membayar Rp 60.000.

TARUHAN C Bentuk taruhan: Sepasang dadu dilemparkan satu kali. Apakah kedua buah dadu menunjukkan jumlah mata dadu yang sama? Kalau sama, kita mendapat Rp 60.000. Kalau berbeda, kita membayar Rp 12.000.

ANALISIS TARUHAN B Misalkan variabel acak X menyatakan hasil yang kita dapatkan. E(X) = 0,5.Rp 60000 + 0,5.(-Rp 60000) = 0 (taruhan yang adil) 2X = 0,5.(Rp 60000-0)2+0,5.(-Rp 60000-0)2 = (Rp 60000)2 X = Rp 60000

ANALISIS TARUHAN C Misalkan variabel acak X menyatakan hasil yang kita dapatkan. E(X) = 1/6Rp 60000 + 5/6 (-Rp 12000) = 0 (taruhan yang adil) 2X =1/6(Rp 60000-0)2+ 5/6 (-Rp 12000-0)2 = 1/6(Rp 60000)2 + 1/30(Rp 60000)2 = 1/5(Rp 60000)2 X = Rp 26830

DISTRIBUSI NORMAL Distribusi peluang kontinu terpenting dalam statistika Kurva berbentuk bel Aplikatif dalam pengukuran fisik Nama lain: distribusi Gauss

HASIL SAMPLING TINGGI BADAN (INCI) 36.0 36.2 34.8 36.0 34.6 38.4 35.4 36.8 34.7 33.4 37.4 38.2 31.5 37.7 36.9 34.0 34.4 35.7 37.9 39.3 34.0 36.9 35.1 37.0 33.2 36.1 35.2 35.6 33.0 36.8 33.5 35.0 35.1 35.2 34.4 36.7 36.0 36.0 35.7 35.7 38.3 33.6 39.8 37.0 37.2 34.8 35.7 38.9 37.2 39.3

CIRI KURVA NORMAL Letak rata-rata, median, modus di x = . Kurva simetris terhadap sumbu vertikal yang melalui rata-rata . Kurva bertitik belok di x =   , cekung ke bawah untuk  -  < X <  +  dan cekung ke atas pada bagian lainnya. Sumbu horizontal merupakan garis asimtot yang dihampiri kurva menuju kedua arah yang menjauh dari rata-rata. Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu vertikal adalah 1.

Mean dan Std. Deviation Curves with different means, same standard deviation 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Curves with different means, different standard deviations Have students find the means of 11, 15.5 and 21 for the top 3 curves. The standard deviation for each is one-half. For the lower 3 curves the means are 10, 15.5 and 21. The curve with the largest standard deviation is in the center. The one with the smallest is on the right. The middle curve on top has the same mean but different standard deviation from the middle curve on bottom. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

VARIANCE OF THE NORMAL DISTRIBUTION MEASURES THE SPREAD OF THE CURVE Variance < Variance < Variance Standard < Standard < Standard Deviation Deviation Deviation MEASURE DISTANCE FROM THE MEAN IN UNITS OF THE STANDARD DEVIATION

DISTRIBUSI NORMAL BAKU (STANDARD NORMAL DISTRIBUTION) Distribusi normal dengan ciri-ciri: Rata-rata = 0 Simpangan baku = 1