Analisis Sensitivitas

Analisis Sensitivitas Studi dalam perubahan solusi optimal dan nilai optimal karena perubahan dalam koefisien data input. Perubahan: Koefisien fungsi tujuan Konstanta ruas kanan Koefisien matrix Penambahan aktivitas atau variabel baru Perubahan pengunaan sumber dari aktivitas (perubahan kolom) Penambahan pembatas baru

Efek dari Perubahan Perubahan yang memengaruhi optimalitas Perubahan koefisien fungsi tujuan Penambahan aktivitas (variabel) baru Perubahan penggunaan sumber dari aktivitas Perubahan yang memengaruhi kelayakan Perubahan konstanta ruas kanan Penambahan pembatas baru

Masalah Pemrograman Linier Max Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 (Tembaga) 2x1 + 2x2  8 (Plastik) – x1 + x2  1 (Selisih permintaan coaxial cable dan multicore cable) x2  2 (Permintaan coaxial cable) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Tabel Awal cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 6 8 -1 Z = 0 cj Basis

Tabel Akhir (Tabel Optimal) cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/4 Z = 9 cj Basis

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel non basis Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis dan non basis

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Basis Variabel x1:   Kondisi tetap optimal selama dan tetap negatif :    

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Basis Dengan demikian, selama harga multicore cable (koefisien fungsi tujuan untuk variabel x1) berada pada range keputusan terbaik (solusi optimal) adalah memproduksi 3 km multicore cable dan 1 km coaxial cable.

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Basis Variabel x1:

cj Basis cB 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/2 Z = 12 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/2 Z = 12 cj Basis

Variabel x1:

cj Basis cB 4 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -9/4 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -9/4 Z = 15 cj Basis

cj Basis cB 4 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/2 2 5 -1/2 -1 -2 Z = 16 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/2 2 5 -1/2 -1 -2 Z = 16 cj Basis

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Basis Variabel x2:   Kondisi tetap optimal selama dan tetap negatif :    

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Basis Dengan demikian, selama harga coaxial cable (koefisien fungsi tujuan untuk variabel x2) berada pada range keputusan terbaik (solusi optimal) adalah memproduksi 3 km multicore cable dan 1 km coaxial cable.

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Basis Variabel x2:

cj Basis cB 2 6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 3 -1 1/2 -1/4 1/4 -2 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 3 -1 1/2 -1/4 1/4 -2 Z = 12 cj Basis

Variabel x2:

cj Basis cB 2 7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 3 -1 1/2 -1/4 1/4 -5/2 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 3 -1 1/2 -1/4 1/4 -5/2 Z = 13 cj Basis

cj Basis cB 2 7 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/4 -3/4 3/4 -1 3 7/4 -1/4 -9/2 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/4 -3/4 3/4 -1 3 7/4 -1/4 -9/2 Z = 13 3/4 cj Basis

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Non Basis Variabel x3:  Kondisi tetap optimal :  

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan untuk Variabel Non Basis Variabel x4:  Kondisi tetap optimal :  

Penambahan Aktivitas Baru Misal PT OR menambah produk baru yaitu ribbon cable (dilambangkan dengan x7), maka terbentuk model matematis sebagai berikut: Max Z = 2x1 + 3x2 + 2 x7 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2 + 2x7  6 (Tembaga) 2x1 + 2x2 + x7  8 (Plastik) – x1 + x2  1 (Selisih permintaan coaxial cable dan multicore cable) x2  2 (Permintaan coaxial cable) x1, x2, x7 ≥ 0

Tabel Akhir (Tabel Optimal) cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/4 Z = 9 cj Basis

cj Basis cB 2 3 x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6 1 -1/4 -1/2 3/4 -1 1/2 -3/4 1/4 Konstanta x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6 1 -1/4 -1/2 3/4 -1 1/2 -3/4 1/4 Z = 9 cj Basis

cj Basis cB 2 3 x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6 1 -7/12 5/6 1/12 3 1/4 -1/3 1/3 Konstanta x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6 1 -7/12 5/6 1/12 3 1/4 -1/3 1/3 3/4 -1/2 -1/4 1/4 -3/4 1/2 1 3/4 -5/12 -5/6 -1/12 Z = 9 1/4 cj Basis

Dengan penambahan produk ribbon cable, terjadi perubahan solusi optimal. Pada awalnya PT OR harus memproduksi 3 km multicore cable dan 1 km coaxial cable. Sekarang keputusan terbaik bagi perusahaan adalah memproduksi 3,25 km multicore cable, 0,25 km coaxial cable, dan 1 km ribbon cable.

Perubahan dalam Penggunaan Sumber dari Aktivitas Perubahan pada aktivitas (variabel) non basis Dilakukan analisis seperti kasus penambahan aktivitas baru Perubahan pada aktivitas (variabel) basis Menyelesaikan masalah pemrograman linier dari awal lagi

Perubahan yang Memengaruhi Ketidaklayakan Perubahan dalam konstanta ruas kanan Penambahan pembatas baru

Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan Pembatas 1:

Pembatas 1:

cj Basis cB 2 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 5/2 -1 16 1/2 -1/4 3/2 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 5/2 -1 16 1/2 -1/4 3/2 1/4 -3/4 Z = 19/2 cj Basis

Pembatas 1:

cj Basis cB 2 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 3/2 -1 18 1/2 -1/4 5/2 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 3/2 -1 18 1/2 -1/4 5/2 1/4 -3/4 Z = 21/2 cj Basis Karena terdapat konstanta yang bernilai negatif, maka harus diterapkan dual simplex

Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan Pembatas 2:

Penambahan Pembatas Baru Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas baru Pembatas baru bersifat nonbinding atau redundant sehingga tidak mengubah solusi optimal saat ini. Solusi optimal saat ini tidak memenuhi pembatas baru  Pembatas baru bersifat binding

Pembatas baru: x1  4 Solusi optimal saat ini : x = (x1, x5, x2, x6) = (3, 3, 1, 1) x1 = 3  4

Pembatas baru: x1  2 Solusi optimal saat ini : x = (x1, x5, x2, x6) = (3, 3, 1, 1) x1 = 3 > 2

Penambahan slack variable x7: x1 + x7 = 2 Solusi optimal saat ini : x = (x1, x5, x2, x6) = (3, 3, 1, 1) x1 = 3 > 2

cj Basis cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 cj Basis

cj Basis cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/4 Z = 9 cj Basis

Terapkan dual simplex cj Basis cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/4 Z = 9 cj Basis

cj Basis cB 2 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/3 4/3 1/3 2/3 -2/3 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 -1/3 4/3 1/3 2/3 -2/3 -4/3 -1 Z = 8 cj Basis

Shadow Price Max Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 (Tembaga) 2x1 + 2x2  8 (Plastik) – x1 + x2  1 (Selisih permintaan coaxial cable dan multicore cable) x2  2 (Permintaan coaxial cable) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Shadow Price Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2 + x3 = 6 2x1 + 2x2 + x4 = 8 – x1 + x2 + x5 = 1 x2 + x6 = 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

Shadow Price Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2 = 6 - x3 2x1 + 2x2 = 8 - x4 – x1 + x2 = 1 - x5 x2 = 2 - x6 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 Artinya, jika nilai variabel slack meningkat, nilai batasan sumber daya akan menurun Maka, nilai shadow price dari pembatas pertama akan terkait dengan nilai variabel slack x3

Shadow Price cj Basis Tabel Optimal cB 2 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1/2 3/4 -1 1/2 -1/4 1/4 -3/4 Z = 9 cj Basis Nilai shadow price untuk pembatas (1) adalah $1/2, dan untuk pembatas (2) adalah $3/4

Analisis sensitivitas (grafis)

Contoh Kasus C (1) PT OR merupakan perusahaan kecil yang memproduksi coaxial cable dan multicore cable. Terdapat dua jenis bahan yang digunakan, yaitu tembaga dan plastik. Ketersediaan bahan maksimum per hari adalah 6 ton untuk tembaga dan 8 ton untuk plastik. Kebutuhan bahan mentah per kilometer untuk coaxial cable dan multicore cable, adalah sebagai berikut:

Contoh Kasus C (2) Kebutuhan bahan mentah untuk per kilometer cable (ton) Ketersediaan maksimum per hari (ton) Multicore Coaxial Tembaga 1 3 6 Plastik 2 8

Contoh Kasus C (3) Penelitian pasar menunjukkan bahwa Jumlah permintaan coaxial dikurangi dengan jumlah permintaan multicore tidak lebih dari satu km. Permintaan maksimum coaxial adalah 2 km per hari. Harga jual produk per kilometer adalah $2 untuk multicore dan $3 untuk coaxial. Berapa banyak coaxial dan multicore yang harus diproduksi per hari agar diperoleh pendapatan yang maksimum?

Memodelkan Kasus C (1) Variabel keputusan: x1 = jumlah multicore cable yang diproduksi per hari x2 = jumlah coaxial cable yang diproduksi per hari

Memodelkan Kasus C (2) Pembatas: Ketersediaan bahan Tembaga : 1x1 + 3x2  6 Plastik : 2x1 + 2x2  8 2) Permintaan Selisih permintaan : x2 – x1 1 Permintaan coaxial : x2  2 3) Pembatas tak negatif x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Memodelkan Kasus C (3) Fungsi Tujuan: Memaksimumkan Pendapatan total Z = 2x1 + 3x2

Model Matematis Kasus C Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

Mencari Solusi Kasus C Langkah pengerjaan pendekatan Grafik: Plot garis batas setiap constraint Identifikasi daerah feasible/layak Lokalisasi solusi optimal dengan cara: Plotting kurva bertingkat Hitung nilai setiap titik sudut

x2 x1 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (1) X1 + 3X2  6 Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (1) X1 + 3X2  6 x1

x2 x1 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x2 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 (1) X1 + 2X2  6 x1

x2 x1 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x2 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 (3) - X1 + X2  1 (1) X1 + 3X2  6 x1

x2 x1 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x2 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 (3) - X1 + X2  1 (4) X2  2 (1) X1 + 3X2  6 x1

x2 x1 (6)X2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x2 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) (2) 2X1 + 2X2  8 (3) - X1 + X2  1 (4) X2  2 (5)X1 ≥ 0 (1) X1 + 3X2  6 x1

x2 x1 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) Daerah solusi layak Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x2 (6) Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1 + 3X2) Daerah solusi layak (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) (1) (5) x1

x2 x1 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x2 (6) Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

PERUBAHAN DALAM SUMBER Masalah sensitivitas 1 : Berapa banyak suatu sumber dapat ditingkatkan untuk memperbaiki nilai optimum dari fungsi tujuan Z? Berapa banyak suatu sumber dapat diturunkan tanpa menyebabkan perubahan dalam solusi optimum saat ini?

Pembatas binding dan nonbinding (1) Binding  sumber daya yang langka (scarce resource) Nonbinding  sumber daya yang berlebihan (abundant resource)

Pembatas binding dan nonbinding (2) x2 Binding  (1), (2) Nonbinding  (3), (4) (2) 2X1 + 2X2  8 (3) - X1 + X2  1 (4) X2  2 (1) X1 + 3X2  6 x1

Solusi Kasus C dengan Metode Grafis x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

Penurunan pembatas (1) x2 x1 (2) (4) B A C (1) (3) D (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 diturunkan menjadi 5, maka : Solusi optimal: x1* = 3,5 x2* = 0,5 Nilai optimal: Z* = 8,5 (2) (4) B A C (3) (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (1) x2 x1 (2) (4) B A C (1) (3) D (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 diturunkan menjadi 4, maka : Solusi optimal: x1* = 4 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 8 (2) (4) B A C (3) (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (1) x2 x1 (2) (4) B A C (3) (1) D (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 diturunkan menjadi 3, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 6 (2) (4) B A C (3) (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (1) x2 x1 (2) (4) B (1) A C (3) D Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 diturunkan menjadi 2, maka : Solusi optimal: x1* = 2 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 4 (2) (4) B (1) A C (3) Daerah layak (feasible region) D x1

Penurunan pembatas (1) x2 x1 (2) (4) B (1) A C (3) D (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 diturunkan menjadi 1, maka : Solusi optimal: x1* = 1 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 2 (2) (4) B (1) A C (3) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (1) x2 x1 (2) (4) B (1) A C (3) D (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 diturunkan menjadi 0, maka : Solusi optimal: x1* = 0 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 0 (2) (4) B (1) A C (3) D (5) x1

Peningkatan pembatas (1) x2 (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 dinaikkan menjadi 7, maka : Solusi optimal: x1* = 2,5 x2* = 1,5 Nilai optimal: Z* = 9,5 (2) (4) B A C (3) (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Peningkatan pembatas (1) x2 (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 dinaikkan menjadi 8, maka : Solusi optimal: x1* = 2 x2* = 2 Nilai optimal: Z* = 10 (2) (4) B A C (3) (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Peningkatan pembatas (1) x2 (6) Pembatas (1) : x1 + 3x2  6 Jika kapasitas pembatas (1) dari 6 dinaikkan menjadi 9, maka : Solusi optimal: x1* = 2 x2* = 2 Nilai optimal: Z* = 10 Tembaga tidak perlu ditingkatkan lagi, karena tidak mengubah solusi optimal (2) (4) B A C (3) (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Perubahan pembatas (1) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (1), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai kapasitas pembatas (1) diubah dari 4 sampai 8, terjadi kenaikan nilai Z sebesar 0.5 per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (1). Maka shadow price dari pembatas (1) adalah 0,5, dan range keberlakuan dari shadow price tersebut adalah 4 ≤ b ≤ 8. Saat ini kapasitas yang dimiliki perusahaan adalah 6 ton. Maka kapasitas tembaga dapat ditambah hingga 8 ton untuk meningkatkan nilai Z (pendapatan). Pembatas x1 x2 Z x1 + 3x2  0 x1 + 3x2  1 1 2 x1 + 3x2  2 4 x1 + 3x2  3 3 6 x1 + 3x2  4 8 x1 + 3x2  5 3,5 0,5 8,5 x1 + 3x2  6 9 x1 + 3x2  7 2,5 1,5 9,5 x1 + 3x2  8 10 x1 + 3x2  9

Perubahan pembatas (1) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (1), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai kapasitas pembatas (1) diubah dari 0 sampai 4, terjadi kenaikan nilai Z sebesar 2 per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (1). Peningkatan nilai Z per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (1) pada range 0 ≤ b ≤ 4 berbeda dengan pada range 4 ≤ b ≤ 8. Hal ini terjadi karena pada b = 4, terjadi perubahan terkait perpotongan dengan pembatas (2). Pada b ≤ 4, pembatas (1) berpotongan dengan pembatas (2), sedangkan pada b ≥ 4 pembatas (1) tidak berpotongan dengan pembatas (2). Pembatas x1 x2 Z x1 + 3x2  0 x1 + 3x2  1 1 2 x1 + 3x2  2 4 x1 + 3x2  3 3 6 x1 + 3x2  4 8 x1 + 3x2  5 3.5 0.5 8.5 x1 + 3x2  6 9 x1 + 3x2  7 2.5 1.5 9.5 x1 + 3x2  8 10 x1 + 3x2  9

Solusi Kasus C dengan Metode Grafis x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 7, maka : Solusi optimal: x1* = 2,25 x2* = 1,25 Nilai optimal: Z* = 8,25 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 6, maka : Solusi optimal: x1* = 1,5 x2* = 1,5 Nilai optimal: Z* = 7,5 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 5, maka : Solusi optimal: x1* = 0,75 x2* = 1,75 Nilai optimal: Z* = 6,75 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 4, maka : Solusi optimal: x1* = 0,5 x2* = 1,5 Nilai optimal: Z* = 5,5 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 3, maka : Solusi optimal: x1* = 0,25 x2* = 1,25 Nilai optimal: Z* = 4,25 (2) (3) (4) B A C (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 2, maka : Solusi optimal: x1* = 0 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 3 (2) (3) (4) B A C (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 1, maka : Solusi optimal: x1* = 0 x2* = 0,5 Nilai optimal: Z* = 1,5 (2) (3) (4) B A C (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (2) x2 x1 B A C D Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 diturunkan menjadi 0, maka : Solusi optimal: x1* = 0 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 0 (2) (3) (4) B A C (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (2) x2 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 dinaikkan menjadi 9, maka : Solusi optimal: x1* = 3,75 x2* = 0,75 Nilai optimal: Z* = 9,75 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (2) x2 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 dinaikkan menjadi 10, maka : Solusi optimal: x1* = 4,5 x2* = 0,5 Nilai optimal: Z* = 10,5 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (2) x2 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 dinaikkan menjadi 11, maka : Solusi optimal: x1* = 5,25 x2* = 0,25 Nilai optimal: Z* = 11,25 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (2) x2 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 dinaikkan menjadi 12, maka : Solusi optimal: x1* = 6 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 12 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (2) x2 (6) Pembatas (2) : 2x1 + 2x2  8 Jika kapasitas pembatas (1) dari 8 dinaikkan menjadi 13, maka : Solusi optimal: x1* = 6 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 12 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Perubahan pembatas (2) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (2), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai kapasitas pembatas (2) diubah dari 4 sampai 12, terjadi kenaikan nilai Z sebesar 0,75 per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (2). Maka shadow price dari pembatas (2) adalah 0,75, dan range keberlakuan dari shadow price tersebut adalah 4 ≤ b ≤ 12. Saat ini kapasitas yang dimiliki perusahaan adalah 8 ton. Maka kapasitas plastik dapat ditambah untuk meningkatkan nilai Z (pendapatan), dengan batas maksimum kapasitas sebesar 12 ton. Pembatas x1 x2 Z 2x1 + 2x2  0 2x1 + 2x2  1 0,5 1,5 2x1 + 2x2  2 1 3 2x1 + 2x2  3 0,25 1,25 4,25 2x1 + 2x2  4 5,5 2x1 + 2x2  5 0,75 1,75 6,75 2x1 + 2x2  6 7,5 2x1 + 2x2  7 2,25 8,25 2x1 + 2x2  8 9 2x1 + 2x2  9 3,75 9,75 2x1 + 2x2  10 4,5 10,5 2x1 + 2x2  11 5,25 11,25 2x1 + 2x2  12 6 12 2x1 + 2x2  13

Perubahan pembatas (2) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (2), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai kapasitas pembatas (2) diubah dari 0 sampai 2, terjadi kenaikan nilai Z sebesar 1,5 per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (2). Jika nilai kapasitas pembatas (2) diubah dari 2 sampai 4, terjadi kenaikan nilai Z sebesar 1,25 per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (2). Peningkatan nilai Z per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (2) pada range 0 ≤ b ≤ 2 berbeda dengan pada range 2 ≤ b ≤ 4 dan 4 ≤ b ≤ 12. Hal ini terjadi karena pada b = 2 dan b = 4, terjadi perubahan terkait perpotongan dengan pembatas (3) di area solusi layak. Pembatas x1 x2 Z 2x1 + 2x2  0 2x1 + 2x2  1 0,5 1,5 2x1 + 2x2  2 1 3 2x1 + 2x2  3 0,25 1,25 4,25 2x1 + 2x2  4 5,5 2x1 + 2x2  5 0,75 1,75 6,75 2x1 + 2x2  6 7,5 2x1 + 2x2  7 2,25 8,25 2x1 + 2x2  8 9 2x1 + 2x2  9 3,75 9,75 2x1 + 2x2  10 4,5 10,5 2x1 + 2x2  11 5,25 11,25 2x1 + 2x2  12 6 12 2x1 + 2x2  13

Solusi Kasus C dengan Metode Grafis x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

Penurunan pembatas (3) x2 x1 A B C D Pembatas (3) : -x1 + x2  1 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 diturunkan menjadi 0, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) A (4) B C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (3) x2 x1 A B C D Pembatas (3) : -x1 + x2  1 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 diturunkan menjadi -1, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) A (4) B C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (3) x2 x1 A B C D Pembatas (3) : -x1 + x2  1 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 diturunkan menjadi -2, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) A (4) B C (1) Daerah layak (feasible region) D (5) x1

Penurunan pembatas (3) x2 x1 A B C D Pembatas (3) : -x1 + x2  1 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 diturunkan menjadi -3, maka : Solusi optimal: x1* = 3,5 x2* = 0,5 Nilai optimal: Z* = 8,5 (2) (3) A (4) B C (1) D Daerah layak (feasible region) (5) x1

Penurunan pembatas (3) x2 x1 A B C D Pembatas (3) : -x1 + x2  1 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 diturunkan menjadi -4, maka : Solusi optimal: x1* = 4 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 8 (2) (3) A (4) B C (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (3) x2 x1 A B C D Pembatas (3) : -x1 + x2  1 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 diturunkan menjadi -5, maka : Solusi optimal: x1* = - x2* = - Nilai optimal: Z* = - (tidak ada solusi layak) (2) (3) A (4) B C (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (3) x2 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 dinaikkan menjadi 2, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) A (4) B C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (3) x2 (6) Pembatas (3) : -x1 + x2  1 Jika ruas kanan pembatas (3) dari 1 dinaikkan menjadi 3, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) A (4) B C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Perubahan pembatas (3) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (3), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai ruas kanan pembatas (3) diubah dari -2 sampai 3, tidak terjadi perubahan nilai Z. Maka shadow price dari pembatas (3) adalah 0, dan range keberlakuan dari shadow price tersebut adalah b ≥ -2. Saat ini selisih permintaan coaxial cable dan multicore cable tidak lebih dari 1 km. Maka selisih tersebut tidak akan berpengaruh terhadap nilai Z, selama selisihnya lebih dari -2 km. Pembatas x1 x2 Z -x1 + x2  -5 - -x1 + x2  -4 4 8 -x1 + x2  -3 3,5 0,5 8,5 -x1 + x2  -2 3 1 9 -x1 + x2  -1 -x1 + x2  0 -x1 + x2  1 -x1 + x2  2 -x1 + x2  3

Perubahan pembatas (3) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (3), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai ruas kanan pembatas (3) diubah dari -4 sampai -2, terjadi kenaikan nilai Z sebesar 0,5 per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (3). Jika nilai ruas kanan pembatas (3) lebih kecil dari-4 tidak ada solusi layak. Peningkatan nilai Z per peningkatan 1 unit kapasitas pembatas (3) pada range -4 ≤ b ≤ -2 berbeda dengan pada range -2 ≤ b ≤ . Hal ini terjadi karena pada b = -2, terjadi perubahan terkait perpotongan antara pembatas (3) dengan pembatas (1) dan pembatas (2) di area solusi layak. Pembatas x1 x2 Z -x1 + x2  -5 - -x1 + x2  -4 4 8 -x1 + x2  -3 3,5 0,5 8,5 -x1 + x2  -2 3 1 9 -x1 + x2  -1 -x1 + x2  0 -x1 + x2  1 -x1 + x2  2 -x1 + x2  3

Solusi Kasus C dengan Metode Grafis x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

Penurunan pembatas (4) x2 x1 B A C D Pembatas (4) : x2  2 (6) Pembatas (4) : x2  2 Jika ruas kanan pembatas (4) dari 2 diturunkan menjadi 1, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan pembatas (4) x2 x1 B A C D Pembatas (4) : x2  2 (6) Pembatas (4) : x2  2 Jika ruas kanan pembatas (4) dari 2 diturunkan menjadi 0, maka : Solusi optimal: x1* = 4 x2* = 0 Nilai optimal: Z* = 8 (2) (3) (4) B A C (1) D (5) x1

Peningkatan pembatas (4) x2 (6) Pembatas (4) : x2  2 Jika ruas kanan pembatas (4) dari 2 dinaikkan menjadi 3, maka : Solusi optimal: x1* = 3 x2* = 1 Nilai optimal: Z* = 9 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Perubahan pembatas (4) Berdasarkan penurunan dan peningkatan kapasitas dari pembatas (4), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai ruas kanan pembatas (4) diubah dari 1 sampai , tidak terjadi perubahan nilai Z. Maka shadow price dari pembatas (4) adalah 0, dan range keberlakuan dari shadow price tersebut adalah 1 ≤ b ≤ . Saat ini permintaan maksimum coaxial cable tidak lebih dari 2 km. Maka batasan tersebut tidak berpengaruh terhadap nilai Z, selama nilai permintaan coaxial cable lebih besar sama dengan 1 km. Pembatas x1 x2 Z x2  0 4 8 x2  1 3 1 9 x2  2 x2  3

SUMBER YANG DIPRIORITASKAN UNTUK DITINGKATKAN Masalah sensitivitas Sumber daya mana yang perlu ditingkatkan (untuk meningkatkan nilai Z)? maxZi = perubahan maksimum dalam nilai Z akibat peningkatan pembatas i maxbi = perubahan maksimum dari sumber/pembatas i yi = shadow price pembatas i

Shadow price Sumber daya Jenis Perubahan maksimum dalam sumber Perubahan maksimum dalam fungsi tujuan Shadow price 1 Langka 8 – 4 = 4 10 – 8 = 2 1/2 2 12 – 5 = 7 12 – 63/4 = 51/4 3/4 3 Berlimpah 3 – (-2) = 5 9 – 9 = 0 4 3 – 1 = 2 Shadow price : perubahan nilai fungsi tujuan untuk setiap satu unit perubahan sumber daya

Interpretasi Sumber (2) (plastik) seharusnya mendapatkan prioritas dalam pengalokasian dana Sumber (3) dan (4) tidak perlu ditingkatkan

PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN Perubahan dalam koefisien fungsi tujuan akan memengaruhi slope dari garis lurus yang merepresentasikannya. Perubahan dalam koefisien fungsi tujuan akan mengubah status dari suatu sumber (langka atau berlimpah). Masalah sensitivitas 2 : Berapa besar koefisien fungsi tujuan dapat diubah tanpa menyebabkan perubahan pada solusi (titik) optimal? Berapa besar koefisien fungsi tujuan dapat diubah untuk mengubah status sumber dari berlimpah ke langka, dan sebaliknya?

Solusi Kasus C dengan Metode Grafis x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

Penurunan Koefisien Fungsi Tujuan c1 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c1 diturunkan dari 2 menjadi 1, maka fungsi tujuan menjadi max Z = x1 + 3x2 Titik solusi optimal tidak berubah, yaitu pada x1 = 3 dan x2 = 1. Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $6 Z = 2x1 + 3x2 (2) (3) Z = x1 + 3x2 (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan Koefisien Fungsi Tujuan c1 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c1 diturunkan dari 3 menjadi 0, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 0x1 + 3x2 Titik solusi optimal berubah, dari x1 = 3 dan x2 = 1, menjadi x1 = 3/4 dan x2 = 7/4. Solusi optimal: x1* = multicore = 3/4 km x2* = coaxial = 7/4 km Nilai optimal Z* = $5,25 (2) Z = 2x1 + 3x2 (3) (4) B Z = 0x1 + 3x2 A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c1 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c1 dinaikkan dari 2 menjadi 3, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 3x1 + 3x2 Titik solusi optimal tidak berubah, yaitu pada x1 = 3 dan x2 = 1. Z = 3x1 + 3x2 Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $12 (2) Z = 2x1 + 3x2 (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c1 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c1 dinaikkan dari 2 menjadi 4, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 4x1 + 3x2 Titik solusi optimal berubah, dari x1 = 3 dan x2 = 1, menjadi x1 = 4 dan x2 = 0. . Z = 4x1 + 3x2 (2) Solusi optimal: x1* = multicore = 4 km x2* = coaxial = 0 km Nilai optimal Z* = $16 Z = 2x1 + 3x2 (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan c1 Berdasarkan penurunan dan peningkatan harga multicore cable (c1), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai koefisien fungsi tujuan c1 diubah dari 1 sampai 3, tidak terjadi perubahan titik optimal. Maka range perubahan nilai koefisien fungsi tujuan c1 yang tidak menyebabkan perubahan titik optimal adalah 1 ≤ c1 ≤ 3. Jika diperhatikan, batas bawah dari range ini adalah ketika nilai c1 diturunkan sampai beririsan dengan garis pembatas (1), batas atas dari range ini adalah ketika nilai c1 dinaikkan sampai beririsan dengan garis pembatas (2). Saat ini harga multicore cable adalah $2. Maka selama harga multicore cable berada pada range 1 ≤ c1 ≤ 3, jumlah multicore cable yang harus diproduksi adalah 3 km dan jumlah coaxial cable yang harus diproduksi adalah 1 km. Fungsi Tujuan x1 x2 Z Max Z = 0x1 + 3x2 7/4 5,25 Max Z = 1x1 + 3x2 3 1 6 Max Z = 2x1 + 3x2 9 Max Z = 3x1 + 3x2 12 Max Z = 4x1 + 3x2 4 16

Solusi Kasus C dengan Metode Grafis x2 (6) dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2  6 2x1 + 2x2  8 – x1 + x2  1 x2  2 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Max Z = (2X1+3X2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 (2) (3) Z = 2x1 + 3x2 = 6 (4) Daerah layak (feasible region) (1) (5) x1

Penurunan Koefisien Fungsi Tujuan c2 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c2 diturunkan dari 3 menjadi 2, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 2x1 + 2x2 Titik solusi optimal tidak berubah, yaitu pada x1 = 3 dan x2 = 1. (2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $8 Z = 2x1 + 3x2 Z = 2x1 + 2x2 (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Penurunan Koefisien Fungsi Tujuan c2 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c2 diturunkan dari 3 menjadi 1, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 2x1 + 1x2 Titik solusi optimal berubah, dari x1 = 3 dan x2 = 1, menjadi x1 = 4 dan x2 = 0. Z = 2x1 + 1x2 Z = 2x1 + 3x2 Solusi optimal: x1* = multicore = 4 km x2* = coaxial = 0 km Nilai optimal Z* = $8 (2) (3) (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c2 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c2 dinaikkan dari 3 menjadi 4, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 2x1 + 4x2 Titik solusi optimal tidak berubah, yaitu pada x1 = 3 dan x2 = 1. Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $10 Z = 2x1 + 3x2 (2) (3) Z = 2x1 + 4x2 (4) B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c2 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c2 dinaikkan dari 3 menjadi 5, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 2x1 + 5x2 Titik solusi optimal tidak berubah, yaitu pada x1 = 3 dan x2 = 1. Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $11 Z = 2x1 + 3x2 (2) (3) (4) Z = 2x1 + 5x2 B A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c2 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c2 dinaikkan dari 3 menjadi 6, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 2x1 + 6x2 Titik solusi optimal tidak berubah, yaitu pada x1 = 3 dan x2 = 1. Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $12 Z = 2x1 + 3x2 (2) (3) (4) B Z = 2x1 + 6x2 A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c2 x2 (6) Fungsi tujuan : max Z = c1x1 + c2x2 Jika c2 dinaikkan dari 3 menjadi 7, maka fungsi tujuan menjadi max Z = 2x1 + 7x2 Titik solusi optimal berubah, dari x1 = 3 dan x2 = 1, menjadi x1 = 3/4 dan x2 = 7/4. Solusi optimal: x1* = multicore = 3/4 km x2* = coaxial = 7/4 ton Nilai optimal Z* = $13,75 Z = 2x1 + 3x2 (2) (3) (4) B Z = 2x1 + 7x2 A C Daerah layak (feasible region) (1) D (5) x1

Peningkatan Koefisien Fungsi Tujuan c2 Berdasarkan penurunan dan peningkatan harga coaxial cable (c2), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : Berdasarkan informasi pada tabel, terlihat bahwa jika nilai koefisien fungsi tujuan c2 diubah dari 2 sampai 6, tidak terjadi perubahan titik optimal. Maka range perubahan nilai koefisien fungsi tujuan c1 yang tidak menyebabkan perubahan titik optimal adalah 2 ≤ c2 ≤ 6. Jika diperhatikan, batas bawah dari range ini adalah ketika nilai c2 diturunkan sampai beririsan dengan garis pembatas (2), sedangkan batas atas dari range ini adalah ketika nilai c2 dinaikkan sampai beririsan dengan garis pembatas (1). Saat ini harga coaxial cable adalah $3. Maka selama harga coaxial cable berada pada range 2 ≤ c2 ≤ 6, jumlah multicore cable yang harus diproduksi adalah 3 km dan jumlah coaxial cable yang harus diproduksi adalah 1 km. Fungsi Tujuan x1 x2 Z Max Z = 2x1 + 1x2 4 8 Max Z = 2x1 + 2x2 3 1 Max Z = 2x1 + 3x2 9 Max Z = 2x1 + 4x2 10 Max Z = 2x1 + 5x2 11 Max Z = 2x1 + 6x2 12 Max Z = 2x1 + 7x2 3/4 7/4 13,75

Titik C tetap sebagai titik optimal sepanjang slope dari Z berubah antara slope pembatas (1) dan slope pembatas (2). Untuk menentukan batas bawah c1 dan batas atas c2, rotasi garis fungsi tujuan berlawanan dengan arah jarum jam dengan titik optimal sebagai poros. Untuk menentukan batas atas c1 dan batas bawah c2, rotasi garis fungsi tujuan searah dengan arah jarum jam dengan titik optimal sebagai poros. x2 (6) (2) Solusi optimal: x1* = multicore = 3 km x2* = coaxial = 1 km Nilai optimal Z* = $9 Z = 2x1 + 3x2 = 9 Peningkatan c1 Penurunan c2 Peningkatan c2 Penurunan c1 (3) (4) B C A Daerah layak (feasible region) D (1) (5) x1

Rentang c1 untuk mempertahankan solusi optimal pada titik C Minimum dari c1  slope Z = slope pembatas (1) Maksimum dari c1  slope Z = slope pembatas (2) Rentang c1 agar titik C tetap sebagai titik optimal:

Rentang c2 untuk mempertahankan solusi optimal pada titik C Minimum dari c2  slope Z = slope pembatas (2) Maksimum dari c2  slope Z = slope pembatas (1) Rentang c2 agar titik C tetap sebagai titik optimal: