PROGRAM LINIER : ANALISIS DUALITAS, SENSITIVITAS DAN POST- OPTIMAL Staff gunadarma Universitas Gunadarma

Pengantar Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah dibuat. Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atas solusi optimal akan dapat menghasilkan informasi lain yang berguna Analisis yang dilakukan terhadap solusi optimal untuk mendapatkan informasi tambahan yang berguna tersebut dikenal dengan analisis post-optimal Analisis ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu: Analisis Dualitas Analisis Sensitivitas

Analisis Sensitivitas Analisis Dualitas Dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model Analisis Sensitivitas Dilakukan untuk menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal terhadap perubahan-perubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model maupun koefisien pada fungsi tujuan

Analisis Dualitas Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal Kegunaan bagi pengambil keputusan : Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang. Model Dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut. Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.

Hubungan khusus antara primal dan dual adalah : Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual. Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual. Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan- batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan- batasan >.

Contoh 1 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X1 + 200 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 < 40 18 X1 + 18 X2 < 216 24 X1 + 12 X2 < 240 X1 , X2 > 0 Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y1 + 216 Y2 + 240 Y3 Fungsi batasan : 2 Y1 + 18 Y2 + 24 Y3 > 160 4 Y1 + 18 Y2 + 12 Y3 > 200 Y1 , Y2 , Y3 > 0

Contoh 2 : Model Primal Fungsi tujuan : Min Z = 6 X1 + 3 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 > 16 4 X1 + 3 X2 > 24 X1 , X2 > 0 Model Dualnya adalah: Fungsi tujuan : Maks Z = 16 Y1 + 24 Y2 Fungsi batasan : 2 Y1 + 4 Y2 < 6 4 Y1 + 3 Y2 < 3 Y1 , Y2 > 0

Contoh 3 : Model Primal Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X1 + 6 X2 Fungsi batasan : X1 + 4 X2 < 40 3 X1 + 2 X2 = 60 2 X1 + X2 > 25 X1 , X2 > 0 Model dualnya ??

Catatan: Untuk mentransformasikan model primal kedalam bentuk dual adalah bahwa model primal harus dalam bentuk standar. Sehingga, bila model primal belum dalam bentuk standar harus dirubah dulu menjadi bentuk standar. Untuk masalah maksimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda <. Untuk masalah minimisasi, bentuk standarnya adalah fungsi batasan mempunyai tanda >.

Jadi untuk contoh 3, diperoleh fungsi batasan sbb Jadi untuk contoh 3, diperoleh fungsi batasan sbb.: X1 + 4 X2 < 40  X1 + 4 X2 < 40 3 X1 + 2 X2 = 60  3 X1 + 2 X2 < 60 3 X1 + 2 X2 > 60  (-1) (3 X1 + 2 X2 > 60) - 3 X1 - 2 X2 < - 60 2 X1 + X2 > 25  (-1) (2 X1 + X2 > 25) - 2 X1 - X2 < - 25

Sehingga model primal menjadi : Fungsi tujuan : Maks Z = 10 X1 + 6 X2 Fungsi batasan : X1 + 4 X2 < 40 3 X1 + 2 X2 < 60 - 3 X1 - 2 X2 < - 60 - 2 X1 - X2 < - 25 X1 , X2 > 0 Dari model primal yang sudah dalam bentuk standar, maka model dual dapat diformulasikan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Min Z = 40 Y1 + 60 Y2 - 60 Y3 - 25 Y4 Fungsi batasan : Y1 + 3 Y2 - 3 Y3 - 2 Y4 > 10 4 Y1 + 2 Y2 - 2 Y3 - Y4 > 6 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 > 0

Menginterpretasi Model Primal : Misal dipunyai solusi optimal dari model primal sbb. : cj Variabel   160 200 Basis Kuantitas X1 X2 S1 S2 S3 8 1 1/2 -1/18 4 -1/2 1/9 48 6 -2 zj 2240 20 20/3 cj - zj -20 -20/3

Diperoleh: Jumlah produk 1 yaitu X1 = 4 Jumlah produk 2 yaitu X2 = 8 Sisa sumber daya 3 adalah S3 = 48 m2 Baris cj – zj dibawah kolom S1 adalah -20, artinya bahwa nilai dari satu unit sumber daya 1 adalah sebesar 20. Nilai baris cj – zj dibawah kolom S2 adalah -20/3, bahwa nilai dari satu unit sumber daya 2 adalah sebesar 20/3. Laba yang diperoleh sebesar 2240 . Untuk sumber daya 3 (S3) pada baris cj – zj bernilai nol, artinya bahwa sumber daya 3 memiliki nilai marjinal nol, yaitu kita tidak akan bersedia membayar apapun penambahan 1 unit sumber daya 3.

Analisis Sensitivitas Pada masalah program linier, diasumsikan bahwa parameter- parameter dari model diketahui dengan tepat dan pasti. Dalam kenyataannya hal ini jarang sekali terjadi, sehingga para manajer perlu untuk mengetahui dampak yang terjadi pada solusi model apabila parameter-parameter model berubah. Analisis terhadap perubahan parameter dan dampaknya terhadap solusi optimal model disebut Analisis Sensitivitas

Analisis Dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Dipunyai formulasi model program linier : Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X1 + 200 X2 Fungsi batasan : 2 X1 + 4 X2 < 40 jam tenaga kerja 18 X1 + 18 X2 < 216 pon kayu 24 X1 + 12 X2 < 240 m2 tempat penyimpanan X1 , X2 > 0 Dimana X1 = jumlah meja yang diproduksi, X2 = jumlah kursi yang diproduksi

Tabel simpleks optimal : cj Var.   160 200 Basis Kuant. X1 X2 S1 S2 S3 8 1 ½ -1/18 4 -1/2 1/9 48 6 -2 zj 2240 20 20/3 cj - zj -20 -20/3

Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa c1 = laba yang diperoleh dari meja = $160 c2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200 Seandainya, nilai c1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c1 = 160 + ∆. Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal

Dampak perubahan ini pada solusi model dapat diperlihatkan pada tabel simpleks optimal dengan c1 = 160 + ∆ , sbb.: cj Variabel   160 + ∆ 200 Basis Kuantitas X1 X2 S1 S2 S3 8 1 ½ -1/18 4 -1/2 1/9 48 6 -2 zj 2240 + 4∆ 20 - ∆/2 20/3 + ∆/9 cj - zj -20 + ∆/2 -20/3 - ∆/9

Solusi pada tabel diatas akan tetap optimal bila nilai cj – zj tetap negatif, sehingga supaya solusi tetap optimal berlaku : -20 + ∆/2 < 0 -20/3 - ∆/9 < 0 ∆/2 < 20 - ∆/9 < 20/3 ∆ < 40 -∆ < 60 ∆ > -60

Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c1 – 160 Diketahui bahwa c1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c1 – 160. Dengan mensubstitusikan nilai c1 – 160 pada ∆, diperoleh : ∆ < 40 ∆ > -60 c1 – 160 < 40 c1 – 160 > -60 c1 < 200 c1 > 100 Kesimpulan yang dapat diambil untuk nilai range c1 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan (meskipun nilai fungsi tujuan berubah) adalah : 100 < c1 < 200

Dengan cara yang sama, maka diperoleh nilai range untuk c2 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan adalah : 160 < c2 < 320 Jadi, range untuk fungsi tujuan untuk masalah ini adalah : 100 < c1 < 200 Catatan : Range ini hanya menunjukkan perubahan yang memungkinkan pada nilai c1 saja, atau c2 saja, dan bukan perubahan pada keduanya secara bersama-sama (sifat Additivity)

Analisis Dari Dampak Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan : Dari contoh yang sama, diperoleh: nilai kuantitas batasan pada masalah tersebut, dituliskan dengan notasi q1 = 40, q2 = 216, dan q3 = 240. Misal kita ingin menentukan perubahan seberapa jauh range qi agar solusi tetap dalam daerah yang feasible Misal akan ditentukan range untuk q1 agar solusi tetap dalam daerah yang feasible, maka batasan model untuk masalah diatas menjadi : 2 X1 + 4 X2 < 40 + ∆ jam tenaga kerja 18 X1 + 18 X2 < 216 pon kayu 24 X1 + 12 X2 < 240 m2 tempat penyimpanan

Tabel simpleks optimalnya adalah sbb.: cj Variabel   160 200 Basis Kuantitas X1 X2 S1 S2 S3 8 + ∆/2 1 ½ -1/18 4 - ∆/2 -1/2 1/9 48 + 6∆ 6 -2 zj 2240 +20∆ 20 20/3 cj - zj -20 -20/3

Perlu diingat bahwa salah satu persyaratan metode simpleks adalah nilai kuantitas tidak boleh negatif. Jika salah satu nilai qi menjadi negatif, maka solusi menjadi tidak feasible lagi. Sehingga pertidaksamaan-pertidaksamaan diatas berlaku: 8 + ∆/2 > 0 4 - ∆/2 > 0 48 + 6∆ > 0 ∆/2 > -8 - ∆/2 > -4 6∆ > -48 ∆ > -16 - ∆ > -8 ∆ > -8 ∆ < 8

Karena q1 = 40 + ∆ , maka ∆ = q1 – 40. Nilai ini disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas menjadi : ∆ > -16 ∆ < 8 ∆ > -8 q1 – 40 > -16 q1 – 40 < 8 q1 – 40 > -8 q1 > 24 q1 < 48 q1 > 32 Kesimpulan dari pertidaksamaan-pertidaksamaan ini adalah : 24 < 32 < q1 < 48

Nilai 24 dapat dihilangkan karena q1 harus lebih besar dari 32, jadi diperoleh hasil range q1 adalah: 32 < q1 < 48   Selama q1 berada pada range ini, maka solusi tetap dalam daerah yang feasible (meskipun nilai kuantitas dari variabel tersebut mungkin saja berubah). Dengan cara yang sama, diperoleh hasil range q2 adalah : 180 < q2 < 240 Sedangkan untuk q3, tidak perlu dihitung seperti diatas karena dari tabel simpleks optimal terlihat bahwa sumber daya ke-3 masih tersisa 48 m2 tempat penyimpanan.