Peubah Acak

Definisi Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata

Contoh 1 Misalkan sebuah koin dilempar tiga kali, dan barisan Gambar dan Angka yang muncul diamati. Maka ruang contohnya adalah S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}. Peubah acak yang dapat didefinisikan pada ruang contoh S antara lain (1) X=Banyaknya Angka yang muncul, X={0,1,2,3} (2) Y=banyaknya Gambar yang muncul Y={3,2,1,0}

Contoh : jika sebuah mata uang dilempar 3 kali dan X = banyaknya M X yang mungkin : 0,1,2,3 R S X MMM MBM MMB MBB BMM BBM BMB BBB 1 2 3 Semester Pendek FMIPA UGM 2005

(3) Z=banyaknya Angka ditambah banyaknya Gambar yang muncul. Dalam satu percobaan dapat didifinisikan berbagai peubah acak. Masing – masing peubah acak tersebut adalah fungsi yang bernilai bilangan nyata yang didefinisikan pada S.

Contoh 2 Misalkan dua dadu bermata 6 dilemparkan dan angka yang muncul diamati. Peubah Acak yang dapat didefinisikan pada ruang contohnya antara lain (1) X jumlah mata dadu yang muncul X={2,3,4,5,...,12} (2) Yselisih mata dadu yang muncul. Y={0,1,2,3,4,5}

Peubah Acak diskret Definisi Peubah acak diskret adalah peubah acak yang dapat mengambil nilai - nilai yang terbatas atau nilai yang tidak terbatas tapi dapat dicacah.

Contoh Pada percobaan pelemparan dua koin dan sisi mana yang muncul diamati, ruang contohnya adalah {GG, GA, AG, AA}. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya Angka yang muncul, maka nilai X yang mungkin adalah {0, 1, 2}. Bila pada percobaan muncul {GG} maka nilai X adalah 0. Bila yang muncul adalah {GA} atau {AG} maka nilai X adalah 1 dan bila yang muncul adalah AA maka nilai X adalah 2.

Contoh Dua dadu bermata 6 dilemparkan dan angka yang muncul diamati. Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan jumlah mata dadu yang muncul. Bila yang muncul mata dadu pertama adalah 4 dan kedua adalah 6, maka nilai Y adalah 10.

Jika nilai dari peubah acak dinotasikan dengan x1, x2, Jika nilai dari peubah acak dinotasikan dengan x1, x2, ...maka terdapat fungsi p sedemikian hingga p(xi) = P(X=xi) dan Fungsi ini dinamakan fungsi massa peluang dari peubah acak X.

(1) X jumlah mata dadu yang muncul p(x) |1/36 2/36 3/36 4/36 ... (2) Yselisih mata dadu yang muncul. Y | 0 1 ... p(y) | 6/36 ...

Uang dilantunkan 4 kali. Carilah peubah acak X=banyaknya muka Hitung peluang masing-masing peubah acak Carilah rumus ditribusi peluang

Fungsi Sebaran Kumulatif Definisi Fungsi sebaran kumulatif atau lebih sering disebut fungsi sebaran F dari peubah acak X, didefiniskan untuk semua bilangan nyata b, -∞ < b < ∞, dengan F(b) = P(X ≤ b)

Beberapa sifat dari fungsi sebaran F adalah fungsi yang tidak turun, artinya jika a < b maka F(a) ≤ F(b) F adalah fungsi yang kontinu dari kanan. Artinya, untuk setiap b dan setiap barisan yang menurun bn, n≥1, yang konvergen ke b,

Contoh Hitunglah P(X<3) P(X=1) P(X>1/2) P(2<X≤4)

Hitunglah : a. P(Y>2) b. P(1≤Y≤3) c. P(Y=2) Bila diketahui fungsi sebaran kumulatif peubah acak diskret Y adalah sebagai berikut: y 1 2 3 F(y) 0.2 0.5 0.8 1.0

Distribusi peluang gabungan Beberapa keadaan memerlukan pencatatan hasil secara serentak Misal Pengukuran kadar uap air P dan isi gas V dari percobaan kimia –-- f(p,v) Pengukuran kekerasan K dan daya rentang R dari tembaga dingin yang ditarik –-- f(k,r)

Dua isi ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 biru, 2 merah dan 3 hijau. Bila X= isi biru dan Y= isi merah, hitung fungsi peluang gabungan dan hitung peluang A, jika A daerah {(x+y)<2} X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 Y 1 6/28 6/28 - 2 1/28 - -

Fungsi peluang gabungan f(x,y)= P(x+y<2)=f(0,0)+f(0,1)+f(1,0) = 3/28+6/28+9/28 =18/28

Distribusi marjinal X dan Y g(x)= ∑ f(x,y) y h(y)= ∑ f(x,y) x X | 0 1 2 g(x) | 10/28 15/28 3/28

Distribusi bersyarat f(y/x)=f(x,y)/g(x) Hitung P(X=0/Y=1)= f(0/1)=f(0/1)/h(10) =(6/28)/(12/28)=1/2

Penempatan bola (mekanika statistik) Cara pertama (vektor penentuan) Menentukan kotak mana yang dimasuki kelereng Model (BK)1 : jumlah vektor penentuan nPr Model (BK)∞ : Cara kedua (vektor pemempatan) Menentukan berapa banyak kelereng yang masuk ke setiap kotak Model (BK)1 : jumlah vektor penentuan nCr

Dua kelereng (r)=2 dilantunkan ke 3 keranjang(n) Vektor penentuan (BK)1 =6 (1,2)(1,3)(2,1)(2,3)(3,1)(3,2) (BK) ∞= 9 (1,2)(1,3)(2,1)(2,3)(3,1)(3,2)(1,1)(2,2)(3,3) (BK)1 = 3 (1,1,0) (1,0,1)(0,0,1) (BK) ∞= 6 (1,1,0) (1,0,1)(0,0,1)(2,0,0)(0,2,0)(0,0,2)