TEORI URUTAN PADA GEOMETRI Ada dua teori urutan yang terkenal yaitu : a. Teori precedence (yang lebih didahulukan) b. Teori betwenness (ke-antaraan)

Jika dinyatakan secara formal, teori precedence meliputi relasi dua suku (biner). a<b (dibaca a mendahului b, bukan a kurang dari b) dan teori betwenness meliputi relasi tiga suku (ternary)

1. Postulat untuk urutan himpunan dasar S yang memiliki elemen a,b,c, 1. Postulat untuk urutan himpunan dasar S yang memiliki elemen a,b,c,...yang memenuhi postulat berikut ini;

P1. a<a akan selalu salah P2. a<b, b<c, secara tak langsung P1. a<a akan selalu salah P2. a<b, b<c, secara tak langsung menyatakan a<c P3. jika a dan b keduanya berbeda maka akan berlaku salah satu dari relasi a<b, b<a

2. Postulat untuk Ke-antaraan Kita asumsikan bahwa relasi ‘antara’ memenuhi postulat berikut ini: B1. (abc) secara tak langsung menyatakan (cba),(sifat simetri). B2. (abc) secara tak langsung menyatakan ketidakbenaran dari (bca), (sifat antisiklik)

B3. a,b,c berbeda dan kolinier, jika dan hanya jika (abc), (bca), atau (cab), sifat kohenrensi linier B4. misalkan p kolinier dan berbeda dari a, b, c, maka (apb) secara tak langsung menyatakan (bpc atau (apc) tetapi tidak keduanya, sifat pemisahan

B5. jika a≠b ada x,y,z sedemikian. sehingga (xab), (ayb), (abz), B5. jika a≠b ada x,y,z sedemikian sehingga (xab), (ayb), (abz), sifat aksistensi Keterangan: B1 merupakan sifat simetri sederhana B2 menyatakan bahwa kita dapat merusak kevaliditasan (abc) jika kita gunakan permutasi siklik yang menggantikan a,b,c dengan b,c,a

B3 menghubungkan ide dasar antara. titik dan garis dalam teori B3 menghubungkan ide dasar antara titik dan garis dalam teori insidensi. B3 mudah diingat karena relasi yang terlibat adalah permutasi siklik (abc) B3.1. (abc) secara tak langsung menyatakan a,b,c berbeda dan kolinier B3.2. jika a,b,c berbeda dan kolinier maka (abc), (bca), atau (cab) sesungguhnya B3 ekuivalan dengan

B3. 1. dan B3. 2. dan merupakan formulasi untuk kedua sifat ini B3.1. dan B3.2. dan merupakan formulasi untuk kedua sifat ini. B4 diformulasikan sebagai sifat segitiga. “Jika p memisahkan a dari b, maka p pasti memisahkan a atau b dari c, tetapi tidak keduanya”. B5 diperkenalkan untuk menjamin titik yang ada dalam bahasan kita. B5 berguna untuk mencegah teori menjadi trivial.

3. Sifat Ke-antaraan Elementer Kita dapat menurunkan prinsip-prinsip dibawah ini: i. (abc) menyatakan ab=bc=ac ii. (abc) menyatakan bahwa ab memuat c, bc memuat a, dan ac memuat b

Teorema 1. (abc) secara tak langsung menyatakan (cba), dan (abc) secara tak langsung ketidakbenaran dari (bca), (bac), (acb), dan (cab). Bukti :

Corollary. (abc) ↔ (cba) yakni (cba) dan (abc) adalah ekivalen. 4 Corollary. (abc) ↔ (cba) yakni (cba) dan (abc) adalah ekivalen. 4. Segmen Bangun geometrik yang paling sederhana setelah garis adalah segmen. Definisi. Jika a≠b, himpunan semua titik x sedemikian sehingga (axb)

Disebut segmen ab, yang dinotasikan , a dan b disebut titik ujung segmen ab atau menghubungkan a dan b

Teorema 2. jika a≠b maka i. ii. merupakan subset dari ab iii Teorema 2. jika a≠b maka i. ii. merupakan subset dari ab iii. a, b, bukan elemen dari iv. bukan himpunan kosong

Bukti. Jika x berada pada , maka akan dibuktikan jika x berada pada , juga berada dalam . Menurut definisi , x berada dalam jika (axb). Lalu x juga berada pada ba jika (bxa). Jadi harus dibuktikan bahwa (axb) secara tak langsung menyatakan (bxa) dan konversinya juga berlaku.

Yakni (axb) dan (bxa) ekivalen Yakni (axb) dan (bxa) ekivalen. Hal ini berlaku menurut corollary teorema 1. jadi kita simpulkan